Flujo de energía debido a la difusión

Question

Flujo de energía debido a la difusión

Física
difusión
termodinámica
potencial químico

usuario1476176

Por la relación termodinámica fundamental, sé que el potencial químico de $i$ representa la energía que se agregaría a un sistema si una partícula de $i$ se agregaron con todas las demás propiedades del sistema mantenidas constantes. Según esta definición, el flujo instantáneo de energía debido a la difusión de $i$ debiera ser

{\vec{j}}_{i} m_{i}

$\vec{j}_i \mu_i$

dónde $\vec{j}_i$ es el flujo de masa de especies $i$ . Esto significa que el flujo de energía instantáneo debido a toda la difusión debe ser

\sum_{i} {\vec{j}}_{i} m_{i}

$\sum_i \vec{j}_i \mu_i$

Encontré una fuente [ https://e-reports-ext.llnl.gov/pdf/367674.pdf Ecuación 12] que sugiere que el flujo de energía debido a la difusión es

\sum_{i} {\vec{j}}_{i} h_{i}

$\sum_i \vec{j}_i h_i$

Esto es consistente con la expresión familiar para el flujo de energía debido al transporte de masa a granel, pero no con mi primera expresión. Yo sé eso $\mu$ y $h$ están conectados por

m_{i} = {gramo}_{i} = h_{i} - T s_{i}

$\mu_i = g_i = h_i - Ts_i$

pero no veo cómo puedo hacer el $T s_i$ term cancel out para extraer la segunda expresión de la primera. Parece que eso requeriría que

\sum_{i} {\vec{j}}_{i} s_{i} = 0

$\sum_i \vec{j}_i s_i = 0$

y que esto no puede ser cierto en general. Esto aparentemente pone la fórmula "general" de mi fuente en desacuerdo con mi interpretación de la Relación Termodinámica Fundamental "general". ¿Qué fuente o suposición es incorrecta?

Nota: Me doy cuenta de que la fuente a la que me vinculé cita varias otras fuentes. Los consultaré cuando tenga la oportunidad de ir a la biblioteca, pero me preocupa que también presenten la fórmula como una afirmación en lugar de una derivación y, por lo tanto, no respondan a mi pregunta.

Nota: He considerado la posibilidad de que la arbitrariedad de los estados de referencia juegue un papel aquí. He llegado a la conclusión de que no: $\mu$ , $h$ , y $s$ son solo arbitrarias hasta una constante aditiva y $\sum_i \vec{j}_i = 0$ , por lo que sumar la constante arbitraria sobre todas las especies siempre arroja 0.

qmecanico

Comentario menor a la publicación (v1): considere mencionar explícitamente el autor, el título, etc. del enlace, para que sea posible reconstruir el enlace en caso de que se rompa.

Respuestas (2)

Flujo de energía debido a la difusión

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usuario1476176 · Answer 1

Esta pregunta [ Potencial químico en termodinámica ] resulta tener la mayor parte de la respuesta. No estaba etiquetado con la etiqueta de 'potencial químico', así que no lo vi cuando estaba preguntando. De todos modos, lo volveré a exponer como se aplica a esta pregunta: el potencial químico es la energía agregada por partícula si la entropía y el volumen se mantienen constantes . La ecuación fundamental real es

d tu = T d s - PAG d V + \sum_{i} m_{i} d y_{i}

$du = T ds - PdV + \sum_i \mu_i dy_i$

Para un proceso a volumen constante con flujo difusivo $\vec{j}$ , la masa que cruza el límite provoca un cambio en $y_i$ y en $s$ - este último porque lleva consigo la entropía. El cambio total de energía debido a la difusión es entonces

\begin{aligned} d tu & = T d s - PAG d V + \sum_{i} m_{i} d y_{i} \\ \frac{d tu}{d t} & = T \frac{d s}{d t} - PAG \frac{d v}{d t} + \sum_{i} m_{i} \frac{d y_{i}}{d t} \\ \frac{d tu}{d t} & = T \sum_{i} {\vec{j}}_{i} s_{i} - 0 + \sum_{i} m_{i} {\vec{j}}_{i} \\ = T \sum_{i} {\vec{j}}_{i} s_{i} + \sum_{i} (h_{i} - T s_{i}) {\vec{j}}_{i} \\ = T \sum_{i} {\vec{j}}_{i} s_{i} + \sum_{i} {\vec{j}}_{i} h_{i} - T \sum_{i} s_{i} {\vec{j}}_{i} \\ = \sum_{i} {\vec{j}}_{i} h_{i} \end{aligned}

$\begin{align} du &= T ds - PdV + \sum_i \mu_i dy_i \\ \frac{du}{dt}&= T \frac{ds}{dt} - P \frac{dv}{dt}+\sum_i \mu_i \frac{dy_i}{dt} \\ \frac{du}{dt}&= T \sum_i \vec{j}_i s_i - 0 + \sum_i \mu_i \vec{j}_i \\ &= T \sum_i \vec{j}_i s_i + \sum_i \left( h_i -Ts_i \right) \vec{j}_i \\ &= T \sum_i \vec{j}_i s_i + \sum_i \vec{j}_i h_i - T\sum_i s_i \vec{j}_i \\ &= \sum_i \vec{j}_i h_i \end{align}$

Si el volumen cambiara, también podríamos considerar el impacto de este cambio en la energía del sistema, pero consideraríamos que este efecto adicional es el resultado del trabajo mecánico, no de la difusión. Entonces podríamos considerar que el cambio de energía del sistema es la suma del flujo difusivo (arriba) y el trabajo de contorno.

¡Dios trabaje dando una excelente respuesta a su propia pregunta! Esto es más o menos lo que habría publicado si no lo hubieras hecho.

un gran · Answer 2

Tomar un elemento de área $\mathrm{d}S$ perpendicular a la $x$ -eje. ¿Cuánta energía se transporta a través de este en la unidad de tiempo? Bueno, el caudal es $v_x\mathrm{d}S$ , y la densidad de energía es $\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho \varepsilon$ , dónde $\varepsilon$ es energía interna. Así que multiplicando estos tenemos la tasa de transporte de energía a través de $\mathrm{d}S$ , $\left(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho \varepsilon\right)v_x\mathrm{d}S$ , y finalmente obtenemos el flujo de energía convectiva cuando miramos en todas las direcciones (y tenemos $\mathrm{d}S$ sea la unidad de área):

(\frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ ε) v

$\left(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho \varepsilon\right)\mathbf{v}$

Eso no es todo. Lo que también puede suceder es que el fluido en el lado negativo de $\mathrm{d}S$ ejerce una fuerza $\pi_x\mathrm{d}S$ en el líquido en el lado positivo. Ahora esto funciona: $\pi_x\mathrm{d}S \cdot \mathbf{v} = [\pi \cdot \mathbf{v}]_x \mathrm{d}S$ . Generalizando para incluir $y$ y $z$ direcciones (y unidad de área), también, tenemos

[π \cdot v]

$[\pi \cdot \mathbf{v}]$

Si incluimos también el transporte de calor, tenemos el vector de flujo de energía combinado

mi = (\frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ ε) v + [π \cdot v] + q

$\mathbf{e} = \left(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho \varepsilon\right)\mathbf{v} + [\pi \cdot \mathbf{v}] + \mathbf{q}$

Tenga en cuenta que $[\pi \cdot \mathbf{v}] = p\mathbf{v} + [\tau \cdot \mathbf{v}]$ , y $\rho\varepsilon\mathbf{v} + p\mathbf{v} = \rho\left(\varepsilon + \frac{p}{\rho}\right)\mathbf{v} = \rho h \mathbf{v}$ , es decir

mi = (\frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ h) v + [τ \cdot v] + q

$\mathbf{e} = \left(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho h\right)\mathbf{v} + [\tau \cdot \mathbf{v}] + \mathbf{q}$

Esto quiere decir que de hecho es la entalpía la que entra en escena, $\rho \mathbf{v} h = \mathbf{j} h$ siendo el flujo relevante para su pregunta.

Este es el flujo debido al movimiento masivo, que estoy de acuerdo debería involucrar entalpía. Sin embargo, estoy preguntando sobre el flujo debido a la difusión.

Flujo de energía debido a la difusión

usuario1476176

qmecanico

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usuario1476176

N. Virgo

un gran

usuario1476176

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