Determinación del potencial químico

Es bastante difícil responder a su pregunta sin saber exactamente con qué tipo de sistema está tratando. Si está considerando un sistema que solo puede intercambiar calor con su entorno, tendría una función de partición canónica , con potencial químico cero. Sin embargo, si está considerando un sistema que puede intercambiar calor y partículas con una fuente, entonces su función de partición es para un gran conjunto canónico y el potencial químico debe incluirse en ella.

En cuanto a su cálculo, no parece tener sentido encontrar el potencial químico como una función de sí mismo, y debe estar seguro, dependiendo de su sistema, si el potencial químico debe estar presente o no en su función de partición. Si no es así, entonces no tendría sentido calcular el potencial químico, ya que sería cero. ¿Qué es exactamente lo que estás tratando de calcular? Puede haber una forma diferente de abordar su problema.

Cuando escribe la función de partición para una sola partícula, la función de partición es la función de partición canónica para N=1. ¿Qué te hizo pensar que simplemente sumar los factores de Boltzmann no tiene sentido? Tal vez me estoy perdiendo en qué situación estás pensando. Si se trata de un sistema de partículas N con dos niveles de energía, uno con degeneración 2, simplemente eliminar el potencial químico en primer lugar funcionaría.

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como deberia ir

Puede comenzar con el conjunto canónico o el gran conjunto canónico, pero no se deben mezclar los métodos.

conjunto canónico

Trabajar en el conjunto canónico significa el número de partículas$N$está arreglado. En consecuencia, la función de partición canónica no incluye explícitamente el potencial químico. En este caso,

$$Z_1 = e^{\beta\epsilon_1} + 2e^{\beta\epsilon_2}.$$ Los siguientes pasos se aplican generalmente a un dispositivo que no interactúa $N$-sístema de partículas. $$Z_N = Z_1^N , \qquad$$ $$F_N(T) = -kT \ln Z_N = -NkT \ln Z_1 = NF_1$$ $$\mu \approx \left(\frac{\partial F_N}{\partial N}\right)_T = -kT \ln Z_1 = F_1$$

Gran conjunto canónico

Cuando vea una función de partición que incluya$\mu$, probablemente esté viendo la gran función de partición canónica. De nuevo, digamos

$$Z_N = Z_1^N,$$ que es lo mejor que podemos decir sin saber si las partículas son fermiones o bosones. $$\mathcal{Z} = \sum_{N}Z_Ne^{\beta\mu N} = \frac{1}{1 - Z_1e^{\beta\mu}}$$ $$\Omega(T,\mu) = -kT \ln \mathcal{Z} = kT \ln{(1 - Z_1e^{\beta\mu})}$$ $$\langle N \rangle = -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}\right)_T = \frac{Z_1e^{\beta\mu}}{1 - Z_1e^{\beta\mu}}$$ $$\mu = -kT \ln Z_1 + kT \ln{\left(\frac{\langle N \rangle}{\langle N \rangle +1}\right)}$$ en el limite $\langle N \rangle \to \infty$, el resultado converge con el conjunto canónico.