¿Por qué los extremos cerrados y abiertos de un tubo de órgano son nodos y antinodos?

Hay dos maneras de describir una onda de sonido. Uno es en términos de desplazamiento del medio y el otro es en términos de presión. Este diagrama simple muestra que las dos descripciones son$90^\circ$fuera de fase entre sí.

Tenga en cuenta que en una compresión$C$donde la presión es máxima, el desplazamiento de la partícula es cero y lo mismo es cierto en una rarefacción$R$.

Dado que hay dos formas de describir las ondas sonoras, también hay dos formas de mostrar un patrón de onda estacionaria en una tubería. Uno en términos de onda de desplazamiento y el otro en términos de onda de presión.
Tenga en cuenta que estas son gráficas y que el desplazamiento de las partículas es a lo largo de la dirección de propagación de la onda.

Sus gráficos son para ondas de desplazamiento, por lo que en un extremo cerrado no hay desplazamiento (un nodo) y en el extremo abierto (o justo más allá) hay un desplazamiento máximo (un antinodo).
Lo contrario es cierto para la onda de presión donde el extremo abierto permanece a la presión atmosférica (un nodo) y la presión cambia más en el extremo cerrado (un antinodo).

Las ondas sonoras están formadas por la alternancia de regiones de compresión (mayor densidad) y rarefacción (menor densidad) en el aire. Sin embargo, esto puede ser algo difícil de visualizar. Debido a esto, los libros de texto a menudo muestran la onda como si fuera una cuerda en el tubo del órgano. Realmente lo que te están mostrando las curvas en la amplitud de esta onda de compresión. También se dibuja de esta manera para ayudar a hacer la conexión con las ondas en una cuerda que probablemente sea más fácil de agarrar.

La razón por la que los extremos abiertos siempre son antinodos en lugar de nodos es porque un nodo es donde no puedes tener ningún movimiento. Esto corresponde al extremo cerrado de la tubería. El aire al final de la tubería no puede ir más allá.

Estas curvas muestran el desplazamiento acústico o la velocidad acústica. Para la presión acústica estarían "invertidos" (nodos en el extremo abierto, antinodos en el extremo cerrado).

En el caso 1D presentado, todos ellos son realmente escalares (o pueden tratarse como tales). Las curvas muestran sólo la magnitud. Lo sé, estos gráficos son confusos. Hoy en día también se puede hacer fácilmente por colores. Aquí tienes un ejemplo del cuarto modo. El cero verde está a la izquierda, el rojo y el azul muestran los antinodos.

El por qué "matemático" son las condiciones de contorno para la ecuación de onda. Una intuición o regla empírica podría ser: "en el extremo cerrado la velocidad debe ser cero, porque los vectores de velocidad no pueden penetrar la pared" y "en el extremo abierto, la presión debe ser cero porque no se puede estirar entre nada". ".