¿Extensión conservadora NBG de ZFC?

Lo que se entiende por "extensión conservadora" en este caso es:

Tome cualquier oración en el lenguaje de ZFC y tradúzcala a NBG reescribiendo cada cuantificador para restringir su variable al rango solo en conjuntos . Entonces el enunciado reescrito es un teorema de NBG si y solo si el enunciado original es un teorema de ZFC.

Hay oraciones en NBG que no corresponden a una fórmula ZFC bajo esta traducción, y la propiedad de "extensión conservadora" no dice nada sobre esas oraciones en absoluto. Por eso es una extensión .

(Para probar la propiedad, asumiendo que la metateoría es una teoría de conjuntos, tenga en cuenta que cualquier modelo de ZFC puede convertirse en un modelo de NBG al agregarle cada colección definible que aún no es un conjunto del modelo como clases propias. Esto da un modelo de NBG donde la traducción de una oración ZFC es verdadera en el modelo extendido exactamente si la oración original era verdadera en el modelo original. A la inversa, dado un modelo de NBG, al quitarle las clases apropiadas se produce un modelo de ZFC).

La forma más fácil de pensar en esto es probablemente formular NBG como una teoría de dos tipos, con variables en minúsculas.$x, y, z, \dots$variando solo en conjuntos y variables en mayúsculas$X, Y, Z, \dots$variando en todas las clases. Entonces, para cualquier fórmula$\varphi$todas cuyas variables son variables fijas,$\varphi$es demostrable en NBG iff$\varphi$es demostrable en ZFC.

Para agregar a las respuestas anteriores, aquí hay una prueba$NBG$es conservador sobre$ZFC$.

Primero considere una transitiva$(M,\in)\vDash\\$$ZFC$. Entonces es fácil de ver$(2^M,\in)\vDash\\$$NBG-Global\,Choice$. Para ver la elección, observe la fórmula "$z=(x,y)$" es$\Delta_0$y tan absoluto en$M$. Por lo tanto$M^2\subseteq\\$$M$y así si$R$es un buen orden de$M$,$R\subseteq\\$$M$. Tal orden bien existe por elección normal.

Ahora deja$(N,E)$ser no transitivo. Entonces deja$\pi(x)$ser un isomorfismo entre$(N,E)$y algunos transitivos$(M,\in)$. Entonces sí$R$es un buen orden de$M$,$W=${$(\pi(x),\pi(y))|(x,y)\in\\$$R$} bien órdenes$(N,E)$y$W\subseteq_EN^2$.