¿El esquema de axioma de especificación en ZFC establece que existe algún subconjunto de cualquier conjunto?

En la lógica estándar de primer orden, todos los elementos del universo "existen", por lo que el axioma que has escrito realmente no tiene sentido: "$\exists y$"todo por sí solo no es una fórmula: los cuantificadores tienen que gobernar un predicado, como en$\exists y(y \neq x)$.

Sin embargo, es posible formalizar una teoría de clases, en la que conjuntos como los de ZF se presentan como un tipo especial de clase. Uno de los sistemas más conocidos de este tipo se llama NBG . En tal sistema, ser un conjunto es una propiedad definible, los conjuntos son las cosas que son elementos de alguna clase. Entonces puedes definir la noción de set-hood así:

$$M(x) \equiv \exists y(x \in y)$$ ("M" para "Menge" - Alemán para set.) En tal marco, es significativo escribir $$\forall z\forall y (M(z) \land (\forall x(x \in y \Rightarrow x \in z)) \Rightarrow M(y))$$ que dice que cualquier clase$y$que está contenido en un conjunto$z$es en sí mismo un conjunto. Esta declaración o alguna declaración equivalente es uno de los axiomas de NBG.

La cadena que escribiste no es una cadena bien formada,

$$\forall z [\forall x ((x \in y) \Rightarrow (x \in z)) \Rightarrow \exists y]$$

Por un lado, los cuantificadores se pueden agregar a las fórmulas existentes, no son atómicos. El objetivo es vincular una variable a un contexto. Entonces$\exists y$por sí solo es un error de sintaxis. El rango del cuantificador también está mal manejado, ya que deja el$y$en la primera parte gratis, por lo que ni siquiera está escribiendo un axioma, sino una fórmula que requiere que la tarea diga algo significativo sobre$y$por adelantado.

Pero tal vez quede más claro si aclaramos la terminología. Los conjuntos son exactamente las cosas que existen, en el contexto de$\sf ZFC$, por lo que hablar de un subconjunto es un poco divertido, ya que parece presumir la existencia desde el principio. Todo subconjunto de un conjunto$x$existe, ya que es un conjunto por definición. Entonces, ¿cuál es el problema aquí? ¿Por qué necesitamos este axioma?

El axioma de especificación dice que cada subclase de un conjunto es un conjunto. En otras palabras, dado un conjunto y dada una propiedad, la colección de elementos que corresponden a la propiedad dentro del conjunto también formarán un conjunto.

El propósito del esquema axiomático de especificación es darnos una forma de escribir (especificar) subconjuntos de un conjunto$z$. Es decir, para cada fórmula$\phi(x)$, podemos construir un subconjunto$\{x\in z\ |\ \phi(x)\}$. En particular, cada subconjunto de$z$puede ser especificado por una fórmula específica.

Sin este esquema axiomático no tenemos forma de saber cómo construir subconjuntos de$z$, y mucho menos demostrar que existen. El axioma del conjunto de potencias tampoco nos ayuda en la construcción de subconjuntos. Lo mejor que podríamos hacer si supiéramos cómo construir un número finito de elementos$x_1,\ldots,x_n\in z$es construir el subconjunto finito$\{x_1,\ldots,x_n\}\subset z$con el axioma de emparejamiento.

Tenga en cuenta que la fórmula que escribe no está bien formada porque se refiere a$y$antes de que sea cuantificado.

La siguiente pregunta está relacionada: ¿Es necesario el esquema de axioma de subconjunto en ZF?