El alcance de la teoría axiomática de conjuntos

Actualmente estoy estudiando la teoría de conjuntos ZF en términos de lógica de primer orden y tengo problemas para entender la motivación detrás de esta formulación axiomática de la teoría de conjuntos.

La teoría de conjuntos ZF es un lenguaje de primer orden con los axiomas adecuados de extensionalidad, fundamento, especificación, unión, emparejamiento, reemplazo, conjunto potencia, buen ordenamiento e infinito.

¿Pero por qué?

¿Es la teoría de conjuntos ZF solo un modelo para la teoría de conjuntos universal de la misma manera que la mecánica clásica lagrangiana es solo un modelo para el universo? Es decir, ninguno de los dos es perfecto?

De lo contrario, ¿cuál es la justificación para elegir estos axiomas, en qué 'lógica' estamos basando nuestras elecciones?

Porque cuando extendemos la teoría para incluir el axioma de elección, hemos agregado un nuevo axioma.

¿Cuál es la justificación de agregar el axioma de elección, y no otros enunciados que no podemos probar (se ha demostrado que no son demostrables en la teoría de conjuntos); como las hipótesis del continuo, siempre que sean consistentes con los axiomas actuales?

¿Por qué no podemos agregar todos los enunciados que se ha demostrado que no son demostrables dentro del sistema? ¿Por qué solo agregamos el axioma de elección?

Bajo esta luz, ¿cuál es el alcance de la teoría de conjuntos ZF(C)?

Gödel aborda gran parte de lo que está preguntando en su artículo titulado "¿Cuál es el problema del continuo de Cantor?". Lo subí aquí (se borrará automáticamente en treinta días). La conclusión es esta: usamos estos axiomas porque son verdaderos (desde un punto de vista realista) y porque funcionan: las matemáticas salen muy bien de ellos.
No puede agregar el axioma de elección si ya tiene un buen orden. Quiero decir, puedes, pero no cambiará nada.
Parece haber varias preguntas diferentes aquí: (1) ¿Por qué preferimos el sistema ZFC (en oposición a, digamos, ZF o ZFC+CH)? (2) ¿La incapacidad de ZFC para responder preguntas "naturales" constituye un "defecto fundamental" en ZFC? (3) ¿Es bueno el programa de "sigue agregando axiomas cada vez que encuentres un problema indecidible" (y qué criterios usamos para juzgar eso)? (4) ¿Por qué buscamos establecer teorías para los fundamentos de las matemáticas en primer lugar (incluso antes de decidirnos específicamente por ZFC, es decir, por qué conjuntos en lugar de, no sé, fleens)?
Y posiblemente más. ¿Puede limitar el alcance de esta pregunta? Creo que, en ausencia de un enfoque más concentrado, será difícil responder a esto satisfactoriamente.
Eliminé la última oración porque no tiene sentido y corre el riesgo de descarrilar una pregunta razonable.
Believing the Axioms ( PDF ) de Penelope Maddy repasa las razones históricas y modernas que muchos teóricos de conjuntos tienen para adoptar varios axiomas de teoría de conjuntos. Su interpretación de la justificación y cuán convincente es dependerá de su postura filosófica hacia las matemáticas. Maddy tiene bastante clara su postura.
En ZF solo no puede probar muchos resultados elementales en el análisis y tendrá que abandonar la mayor parte de la teoría de la medida. Un área actual de investigación es encontrar qué consecuencias específicas de AC siguen siendo consistentes con ZF+AD.... AD es el Axioma de Determinación, que contradice AC, pero permite algunas de las consecuencias de AC.

Respuestas (2)

Si añadimos a ZFC todas las proposiciones que se prueban como no demostrables en ZFC, obtendríamos un sistema inconsistente, porque hay oraciones que son tanto no demostrables como no refutables en ZFC.

Tomemos el caso particular de la hipótesis del continuo, CH. Tanto CH como su negación son indemostrables en ZFC. Entonces solo podemos agregar uno de ellos a ZFC a la vez. Pero luego tenemos que decidir cuál. Por supuesto, podemos asumir CH o su negación temporalmente, pero si quisiéramos agregar uno "de una vez por todas" tendríamos que decidir si hay un consenso para asumir CH o un consenso para asumir la negación. . Debido a que no existe un argumento ampliamente aceptado para ninguna de estas opciones, no agregamos ningún axioma a ZFC de forma permanente.

Los axiomas que están en ZFC son consistentes con una comprensión particular de los conjuntos como formando una jerarquía acumulativa. De hecho, ZFC como teoría está configurada para estudiar la jerarquía acumulativa, en lugar de cualquier conjunto que pueda existir fuera de ella. Pero nuestra comprensión de la jerarquía acumulativa no es completa, por lo que no tenemos idea de si CH (por ejemplo) debería mantenerse.

Se ha escrito mucho sobre si se deben agregar nuevos axiomas como "axiomas básicos" en matemáticas, extendiendo ZFC. Por ejemplo, ver

Feferman, S., Friedman, H., Maddy, P. y Steel, J. (2000). ¿Las matemáticas necesitan nuevos axiomas? Boletín de Lógica Simbólica, 6(4), 401-446. doi:10.2307/420965

Como punto interesante, en la cuarta sección del artículo que mencioné en los comentarios, Gödel dice que "ciertos hechos (no conocidos en la época de Cantor) (...) parecen indicar que la conjetura de Cantor [ie el CH ] resultará estar equivocado".

No soy historiador, así que no puedo decir nada sobre por qué Zermelo y Fraenkel se redujeron a esa lista exacta de axiomas. Sin embargo, sí creo que sintieron que era una lista que incorporaba las propiedades más importantes de la teoría de conjuntos "ingenua" mientras evitaba las paradojas que habían comenzado a sacudir los cimientos de las matemáticas.

¿Podrían haber hecho una lista diferente? Casi seguro. Y la teoría de conjuntos tal como la conocemos hoy podría haber sido ligeramente diferente. Pero no demasiado diferente: recuerde que ellos (presuntamente) querían conservar la mayor cantidad posible de teoría de conjuntos ingenua, por lo que cualquier lista de axiomas que hicieran tenía que dar como resultado una teoría cercana a la que tenemos ahora.

Históricamente, a Zermelo se le ocurrió primero un conjunto de axiomas más débiles ( en.wikipedia.org/wiki/Zermelo_set_theory ). El artículo de Zermelo de 1908 fue escrito antes de que nuestra comprensión actual de la lógica de primer orden estuviera muy desarrollada. Sus axiomas fueron refinados y pulidos, basados ​​en ideas propuestas independientemente por Fraenkel y Skolem (por ejemplo, el axioma de reemplazo y el uso de lógica de primer orden para formular el esquema de comprensión). Por alguna razón, el nombre de Skolem no se adhirió a la teoría. El axioma de regularidad se agregó por separado, propuesto por primera vez por Mirimanoff.
@CarlMummert. K. Kunen, en Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia, incluye otro axioma: Existencia: ∃ X ( X = X ) . Primero muestra el desarrollo axiomático de gran parte de ZF y ZFC que se puede hacer sin usar el axioma de Infinity. Sin Infinito y sin Existencia tienes axiomas que todos comienzan con " ∀ " y no puedes probar ninguna oración que comience con " ∃ ".
@DanielWainfleet: en la lógica moderna, el axioma de existencia normalmente se considera parte de la lógica subyacente de primer orden; se sigue de las reglas del sistema de prueba incluso si no se suponen axiomas no lógicos. La mención de Kunen como axioma es un poco idiosincrásica.
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