¿Justificación de ZFC sin usar Con(ZFC)?

Vi esta publicación de Carl Mummert , que describe cómo se puede 'ver' la razonabilidad de ZFC, mediante la iteración de la operación de conjunto de energía a partir del conjunto vacío. Sin embargo, estas iteraciones proceden en etapas en las que cada etapa proviene de una colección bien fundamentada. Podemos captar intuitivamente un número finito de iteraciones, y dada nuestra suposición intuitiva de los números naturales, también podemos captar su unión, y podemos repetir esto a través de todos los ordinales computables, pero no veo cómo se puede justificar que algo más allá de eso sea razonable. además de simplemente apelar a los ordinales ya existentes, lo que sería circular si basamos nuestra comprensión de los ordinales en ZFC.

Específicamente, para llegar al primer ordinal no computable tenemos que tener todos los ordinales computables, pero en cierto sentido no están todos en la 'construcción' anterior, porque si nuestro objetivo es justificar la jerarquía acumulativa no podemos hablar de ninguno. ordinales no computables ya que aún no los hemos construido, ni podemos hacer uso de la colección de todos los buenos ordenamientos transitivos computables porque es meramente un concepto. Lo siento si esto es bastante vago, pero en este momento no conozco una forma más clara de expresar este concepto metateórico.

Además, si ZFC tiene un modelo transitivo (contable), entonces ya existe un ordinal contable que es un modelo de ZFC, cuya existencia, por lo tanto, ZFC por sí sola no puede probar. Pero creo que esto va mucho más allá del primer ordinal no computable, aunque me parece que impide la justificación no circular de la jerarquía acumulativa más allá de él, ya que ni siquiera 'sabemos' si existe sin asumir más que ZFC.

Entonces mi pregunta principal es:

¿Hay algún metasistema que no sea más fuerte que ZFC (pero que podría ser incomparable) pero que pueda construir la jerarquía acumulativa y, por lo tanto, proporcionar algún tipo de "justificación" para ZFC?

Si no, ¿qué es lo más lejos que podemos llegar (o saber cómo) ascender en la jerarquía?

Pido disculpas porque ni siquiera sé con precisión qué metasistema puede permitir que pase mi descripción de los ordinales computables.

Finalmente, el post de François G. Dorais que dice que no podemos obtener el primer ordinal incontable sin el uso del axioma del conjunto potencia, lo que presentaría un severo obstáculo si no tenemos la operación del conjunto potencia (para conjuntos infinitos) . Para mí, el conjunto de potencia completo también es conceptualmente dudoso, pero en la discusión anterior ya estamos dando por sentada la operación del conjunto de potencia. Sin embargo, esto plantea la pregunta:

¿Cambia la respuesta a mi pregunta si en cada etapa sucesora simplemente agregamos todos los subconjuntos definibles de la etapa anterior?

¿Tiene sentido mi pregunta? Una motivación fue que la consistencia de PA se puede probar en PRA más inducción transfinita sin cuantificador hasta ε 0 , que es incomparable en fuerza a PA.

También vi mathoverflow.net/q/235896 pero no sé qué tan relevante es.
@AsafKaragila: ¡Jaja! Al menos en ese caso, podríamos argumentar que es una tontería porque ZFC prueba que PA es ω-consistente pero (ZFC + no Con(ZFC)) no tiene un modelo ω...
Tengo que admitir que no estoy del todo seguro de qué tipo de respuesta esperas. tu pregunta es Σ 1 , y suponiendo que ZFC sea consistente, su pregunta no es Δ 1 .
@AsafKaragila: Bueno, me preguntaba si hay algo como el resultado de consistencia de Gentzen, pero para ZFC en lugar de PA. El mismo Gentzen pensó que su prueba era útil al no confiar en el esquema de inducción completo de PA, proporcionando así una justificación 'independiente' de PA. Como estoy pidiendo una justificación similar de ZFC, tampoco veo cómo mi pregunta puede expresarse como una declaración puramente matemática. Después de todo, algunas personas no están de acuerdo con Gentzen, por lo que una respuesta a mi pregunta sería igualmente subjetiva.
De hecho, le había hecho a alguien esa misma pregunta recientemente por correo electrónico. Tal vez debido a su respuesta me sentí un poco en desacuerdo con esta pregunta aquí...
@AsafKaragila: Kleene dijo: "Hasta qué punto se puede aceptar que la prueba de Gentzen asegura la teoría clásica de números en el sentido de que la formulación del problema es, en el estado actual de las cosas, un asunto de juicio individual, dependiendo de qué tan listo esté uno para aceptar la inducción". a ε0 como un método finitario". (según wikipedia). Para mi pregunta, usar los ordinales (estándar) de ZFC, por supuesto, no es aceptable para justificar la jerarquía acumulativa a menos que primero tengamos alguna justificación 'independiente' para los ordinales.
@AsafKaragila: Ohh, ¿cuál fue su respuesta? ¿Les importa a ellos y a usted compartir? =)
Mi pregunta, en pocas palabras, era si hay un ordinal α que un argumento estilo Gentzen con inducción hasta α puede probar Con(ZFC). La respuesta fue que no lo sabemos, y los argumentos estilo Gentzen son un subproducto de la prueba, y no al revés. No me queda claro, incluso si existe tal prueba al estilo Gentzen, que sea suficiente para "construir la jerarquía de von Neumann" de una manera significativa. Es decir, construimos el V α 's internamente para ZF, independientemente de la metateoría (siempre que sea "razonable"). Su pregunta modificada produce V = L, por lo que no debería importar.
@AsafKaragila: Ah, ya veo. ¿Conoce algún resultado conocido en cualquier otra dirección, es decir, no restringido a argumentos de estilo Gentzen? Acabo de ver en el artículo de wikipedia sobre NF que NFU más el Axioma de contar de Rosser alcanza ℶ ℶ norte por cada finito norte . No sé cuánto cuenta eso, ya que me pareció que el propósito de la estratificación en NFU era tener una jerarquía de tipos implícita y Counting lo viola ligeramente.
Estoy muy lejos de mi porción habitual de océano aquí. Así que no, no puedo ser de más ayuda, lo siento. :-)
Por que es PRA + TI ( ε 0 ) considerado incomparable con Pensilvania ? PRA + TI ( ε 0 ) tiene un ordinal teórico de prueba mayor usando el | . | C o norte formulación: mathoverflow.net/a/420467
@C7X: Incomparable en el sentido filosófico, porque PRA+TI(ε0) tiene muy poca fuerza inductiva.

Respuestas (1)

Creo que el argumento informal de que la jerarquía acumulativa es un modelo de ZFC pretende apelar a algún tipo de percepción directa de la jerarquía acumulativa, al igual que el argumento informal de que norte es un modelo de PA se basa en algún tipo de percepción directa de norte . No espero que el argumento informal se pueda formalizar en teorías débiles que solo pueden funcionar con ordinales computables. Tal vez podría formalizarse en alguna teoría de conjuntos de segundo orden: el tipo de "percepción directa" parece estar relacionado con los sistemas de segundo orden en mi experiencia. Pero eso probablemente parecería ser más fuerte que ZFC desde una perspectiva formal.

Los argumentos de estilo Gentzen a menudo se denominan "análisis ordinal" o "cómputo del ordinal teórico de prueba" en estos días. Una buena encuesta es " El arte del análisis ordinal " de Rathjen. El mayor progreso ha sido que los ordinales teóricos de prueba de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek y de Π 2 1 comprensión (un subsistema de la aritmética de segundo orden) han sido calculados. Todavía hay una enorme "brecha", por así decirlo, entre estas teorías y ZFC, por lo que no creo que nadie esté cerca de un análisis ordinal de ZFC (suponiendo que sea posible).

El problema que tengo con el concepto de "percepción directa de la jerarquía acumulativa" es que realmente no existe tal cosa excepto después de que uno conoce y trabaja en ZFC por un tiempo. Esto contrasta con los números naturales, donde las repeticiones de una cierta operación fija (de cualquier tipo) en el mundo real forman una estructura 'directamente perceptible' que parece satisfacer a PA. Por lo tanto, podemos decir, "mira, esta estructura del mundo real parece mostrar que PA es consistente, al menos hasta los límites que hemos probado hasta ahora". No veo tal cosa para la jerarquía acumulativa más allá de los ordinales computables.
Sí, el argumento informal puede no ser convincente para todos, y tal vez no convenza completamente a nadie. Es solo un argumento particular que ha sido de interés en los fundamentos de la teoría de conjuntos.
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