Extensión a continuo en pruebas de mecánica de cuerpos rígidos

Veamos el caso del momento angular.

En física, las distribuciones de masa "continuas" generalmente se especifican mediante una densidad de masa. La densidad de masa se define como la función$\rho:\mathbb R\times\mathbb R^3\to\mathbb R$que especifica la densidad de masa del sistema en cualquier momento$t$y cualquier punto$\mathbf x$en el espacio. Esto significa que cumple las siguientes dos propiedades

1. en cada momento$t\in\mathbb R$,$\rho(t,\mathbf x) = 0$para todos$\mathbf x$en el que no hay masa.

2. Dado cualquier volumen$V$, la masa total$m(t,V)$contenida en esa región en el momento$t$viene dada por la siguiente integral

$$m(t,V) = \int_{\mathbb R^3} d^3 x\, \rho(t,\mathbf x)$$ Además de la función de densidad, suponemos que existe una función de velocidad $\mathbf v(t,\mathbf x)$que en cualquier momento $t$da la velocidad del punto en el cuerpo que pasa por la posición $\mathbf x$en el espacio. Equipados con tales funciones, podemos definir el momento angular total del sistema en el tiempo $t$como sigue $$\mathbf L(t) = \int_{\mathbb R^3}d^3 x\,\mathbf x\times \mathbf v(t,\mathbf x)\rho(t,\mathbf x)$$ Dada esta expresión, uno puede probar cualquier análogo "continuo" de una declaración sobre el momento angular que le plazca.

Considere un elemento de masa infinitesimal de masa$dm\left(\vec{r}\right)$en la posición$\vec{r}$y con velocidad$\vec{v}$. Su momento angular es:$d\vec{L}=\vec{r}\times\vec{v}dm\left(\vec{r}\right)$

Si hay múltiples masas de este tipo, entonces podemos sumarlas para encontrar el momento angular total del sistema.

$$\vec{L}_{total}=\sum_{i=1}^{N}\vec{r}_{i}\times\vec{v}_{i}dm\left(\vec{r}_{i}\right)$$

Ahora, esta suma se puede escribir como una integral sobre la distribución de tales masas. Para una distribución de masa continua, la suma se aproxima a la integral cuando$N\rightarrow\infty$y la "malla" del volumen de distribución de masa se aproxima a cero. Esta declaración es tan rigurosa como usted quiera que sea y es la esencia del argumento que se usa para definir las integrales de Riemann a partir de sumas de elementos finitos.

Es más intuitivo escribir$dm\left(\vec{r}\right)=m'\left(\vec{r}\right)dV=\rho\left(\vec{r}\right)dV$y hable sobre las integrales de Riemann en oposición a su generalización, Riemann-Stieltjes.$\rho$se identifica como la densidad de volumen y en coordenadas cartesianas$dV=dxdydz$.

$$\vec{L}_{total}=\sum_{i=1}^{N}\vec{r}_{i}\times\vec{v}_{i}\rho\left(\vec{r}_{i}\right)dV_{i}$$

Ahora podemos seguir los argumentos que llevan de una suma discreta a una integral de Riemann. en el limite que$N\rightarrow\infty$podemos escribir:

$$\vec{L}_{total}=\int_{\Omega}\left(\vec{r}\times\vec{v}\right)\rho\left(\vec{r}\right)dV$$

Dónde$\Omega$es un volumen que abarca la distribución de masa. Este es el momento angular del sistema sin más restricciones sobre las velocidades.

Si el objeto es un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje, entonces todas las masas infinitesimales de las que partimos tendrán la misma velocidad angular.$\vec{\omega}$cuya magnitud viene dada por:$\omega=\frac{v}{r}$. Sin pérdida de generalidad, tome el eje de rotación como el$z$-eje. En términos de coordenadas polares:$\vec{v}=v\hat{\phi}$.

$$\vec{L}_{total} = \int_{\Omega}\left(r\hat{r}\times v\hat{\phi}\right)\rho\left(\vec{r}\right)dV = \int_{\Omega}\left(r\hat{r}\times r\omega\hat{\phi}\right)\rho\left(\vec{r}\right)dV = \left(\int_{\Omega}r^{2}\omega\rho\left(\vec{r}\right)dV\right)\hat{z} = \left(\omega\int_{\Omega}r^{2}\rho\left(\vec{r}\right)dV\right)\hat{z} = \omega I\hat{z}=I\vec{\omega}$$

Nota: la suma de las masas se puede expresar como una integral sobre funciones delta:

$$\vec{L}_{total}=\int_{\Omega}\sum_{i=1}^{N}\vec{r}\times\vec{v}\rho\left(\vec{r}\right)\delta^{3D}\left(\vec{r}-\vec{r}_{i}\right)dV$$

dónde$\delta^{3D}\left(\vec{r}-\vec{r}_{i}\right)=\delta\left(x-x_{i}\right)\delta\left(y-y_{i}\right)\delta\left(z-z_{i}\right)$es la función delta tridimensional.