¿Explicación simple de por qué el impulso es un covector?

Supongamos que ejerces una fuerza${\bf F}$en una partícula de masa$m$para moverlo por un camino$\gamma$. El trabajo requerido para hacerlo es

Ahora el trabajo realizado es un escalar; claramente no depende de su elección de coordenadas espaciales. No te sientes el doble de cansado después de ejercer la misma fuerza sobre el mismo sistema físico descrito usando diferentes coordenadas. (Más cuantitativamente, si usa un motor para empujar la masa, puede medir el trabajo realizado por el motor al ver cuánta energía se ha agotado de su batería. Claramente, la batería no "sabe" qué sistema de coordenadas usó .) Y la derivada temporal y la integral de línea tampoco dependen claramente de la elección de las coordenadas espaciales. Por lo tanto, el producto escalar${\bf p} \cdot d{\bf x}$también debe ser independiente de las coordenadas. Entonces, si cambia las coordenadas de tal manera que los valores numéricos de los componentes de$d{\bf x}$doble, entonces los valores numéricos de los componentes del impulso${\bf p}$debe reducirse a la mitad para compensar. Entonces, la posición y el momento se transforman de manera opuesta bajo transformaciones de coordenadas (como un vector y un covector contrarios, respectivamente).

Si no le gusta la integral o la derivada del tiempo en esa explicación, puede notar alternativamente que la potencia instantánea$P = {\bf F} \cdot {\bf v}$que aplica a la masa es un escalar por la misma razón, por lo que la fuerza (la derivada temporal del momento) y la velocidad (la derivada temporal de la posición) deben transformarse de manera opuesta bajo transformaciones de coordenadas.