Uso de tensores en Lagrangian y Hamiltonian

Question

Uso de tensores en Lagrangian y Hamiltonian

Física
cálculo tensorial
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano
deberes-y-ejercicios

elio pereira

Podemos escribir el Lagrangiano (con $n$ coordenadas generalizadas) usando la siguiente expresión:

L (q_{i}, \dot{q_{i}}, t) = L_{0} (q_{i}, t) + L_{1} (q_{i}, \dot{q_{i}}, t) + L_{2} (q_{i}, \dot{q_{i}}, t)

$\mathcal{L(q_i,\dot{q_i},t)}=\mathcal{L}_0(q_i,t)+\mathcal{L}_1(q_i,\dot{q_i},t)+\mathcal{L}_2(q_i,\dot{q_i},t)$

dónde

L_{0} = \vec{k_{1}} . \vec{q} + k_{2},

$\mathcal{L}_0=\vec{k_1}.\vec{q}+k_2,$ es una función sin

\dot{q_{i}}

$\dot{q_i}$ términos,(

k_{1} \in R^{n}, k_{2} \in R

$k_1\in\mathbb{R}^n,k_2\in \mathbb{R}$ ),

L_{1} = \vec{a} . \vec{\dot{q}},

$\mathcal{L}_1=\vec{a}.\vec{\dot{q}},$ es una función lineal en

\dot{q_{i}}

$\dot{q_i}$ ,

(a = a (q_{i}, t))

$\left(a=a(q_i,t)\right)$ , y

L_{2} = b_{i} {\dot{q_{i}}}^{2} + C_{i} \dot{q_{i}} \dot{q_{j}},

$\mathcal{L}_2=b_i\dot{q_i}^2+c_i\dot{q_i}\dot{q_j},$ es una función cuadrática en

\dot{q_{i}}

$\dot{q_i}$ , (

b = b (q_{i}, t), c = c (q_{i}, t), i = 1, 2, . . . n, j = 1, 2, . . . n

$b=b(q_i,t),c=c(q_i,t), i=1,2,...n,j=1,2,...n$ ).

De esta manera puedo transformar la expresión anterior para $\mathcal{L}$ en:

L (q_{i}, \dot{q_{i}}, t) = L_{0} (q_{i}, t) + a . \dot{q} + \frac{1}{2} {\dot{q}}^{t} T \dot{q}

$\mathcal{L(q_i,\dot{q_i},t)}=\mathcal{L}_0(q_i,t)+{a}.{\dot{q}}+\frac{1}{2}\dot{q}^tT\dot{q}$

dónde $T$ es el tensor de energía cinética.

Tenemos el pre-hamiltoniano como,

h (q_{i}, \dot{q_{i}}, {pag}_{i}, t) = \vec{\dot{q}} . \vec{pag} - L (q_{i}, \dot{q_{i}}, t)

$\mathcal{h(q_i,\dot{q_i},p_i,t)}=\vec{\dot{q}}.\vec{p}-\mathcal{L(q_i,\dot{q_i},t)}$

que se puede escribir como

H (q_{i}, {pag}_{i}, t) = \frac{1}{2} (pag - a)^{t} T^{- 1} (pag - a) - L_{0} (q_{i}, t)

$\mathcal{H(q_i,p_i,t)}=\frac{1}{2}(p-a)^tT^{-1}(p-a)-\mathcal{L}_0(q_i,t)$

Mi pregunta es sobre el procedimiento para pasar del tensor lagrangiano a esta última expresión, a modo de operaciones algebraicas. ¿Podrías escribir estas operaciones algebraicas?

walter

Su ecuación que implica

q^{t} T q

$q^tTq$ no se sigue de la anterior. Tal vez quisiste decir

{\dot{q}}^{t} T \dot{q}

$\dot{q}^tT\dot{q}$ con

T

$T$ un tensor constante (en lugar de un tensor de energía cinética , sea lo que sea).

elio pereira

¡tienes razón! Lo siento..

Respuestas (1)

Uso de tensores en Lagrangian y Hamiltonian

Su ecuación que implica $q^tTq$ no se sigue de la anterior. Tal vez quisiste decir $\dot{q}^tT\dot{q}$ con $T$ un tensor constante (en lugar de un tensor de energía cinética , sea lo que sea).

walter · Answer 1

Si

L = a \dot{q} + \frac{1}{2} {\dot{q}}^{t} T \dot{q} - tu (q)

$\mathcal{L} = \boldsymbol{a}\dot{\boldsymbol{q}} + \tfrac{1}{2}\dot{\boldsymbol{q}}^t\mathsf{\boldsymbol{T}}\dot{\boldsymbol{q}} - U(\boldsymbol{q})$ con algún vector constante

a

$\boldsymbol{a}$ y tensor simétrico constante

T

$\mathsf{\boldsymbol{T}}$ , entonces

pag = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = a + T \dot{q} .

$\boldsymbol{p}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\boldsymbol{q}}}=\boldsymbol{a}+\mathsf{\boldsymbol{T}}\dot{\boldsymbol{q}}.$ Por eso,

\dot{q} = T^{- 1} (pag - a)

$\dot{\boldsymbol{q}}=\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})$ y

\begin{aligned} H & = pag \dot{q} - L \\ = (pag - a) \dot{q} - \frac{1}{2} {\dot{q}}^{t} T \dot{q} + tu (q) \\ = (pag - a) T^{- 1} (pag - a) - \frac{1}{2} (pag - a)^{t} T^{- 1} T T^{- 1} (pag - a) + tu (q) \\ = \frac{1}{2} (pag - a)^{t} T^{- 1} (pag - a) + tu (q) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{H} &= \boldsymbol{p}\dot{\boldsymbol{q}} - \mathcal{L} \\ &= (\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})\dot{\boldsymbol{q}} - \tfrac{1}{2}\dot{\boldsymbol{q}}^t\mathsf{\boldsymbol{T}}\dot{\boldsymbol{q}} + U(\boldsymbol{q}) \\ &= (\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a}) - \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})^t\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}\mathsf{\boldsymbol{T}}\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a}) + U(\boldsymbol{q}) \\ &= \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})^t\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a}) + U(\boldsymbol{q}). \end{align}$

Editar. Parece que tiene dificultades con la notación vectorial, así que intentemos la notación de índice (usando la convención de suma de Einstein)

L = a_{i} {\dot{q}}_{i} + \frac{1}{2} {\dot{q}}_{i} T_{i j} {\dot{q}}_{j} - tu (q_{i})

$\mathcal{L} = a_i\dot{q}_i + \tfrac{1}{2}\dot{q}_iT_{ij}\dot{q}_j - U(q_i)$ tal que

{pag}_{k} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = a_{k} + \frac{1}{2} T_{k j} {\dot{q}}_{j} + \frac{1}{2} {\dot{q}}_{i} T_{i k} = a_{k} + \frac{1}{2} (T_{k i} + T_{i k}) {\dot{q}}_{i} .

$p_k = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_k} = a_k + \tfrac{1}{2}T_{kj}\dot{q}_j+\tfrac{1}{2}\dot{q}_iT_{ik} = a_k + \tfrac{1}{2}(T_{ki}+T_{ik})\dot{q}_i.$ y el resto como antes.

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elio pereira

walter

elio pereira

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walter

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