Estoy estudiando las notas de Chris Elliott sobre operadores de línea y superficie en teorías de calibre (disponibles aquí ).
En las notas, hay una mención del hecho de que (por ),
El campo de calibre no es en realidad un formulario 1, pero al elegir un director -paquete las conexiones en ese paquete se convierten en un torsor para .
¿Existe una manera intuitiva de entender la idea de un torsor en este contexto?
EDITAR: encontré una buena publicación de John Baez de 2009: http://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html , que explica algunas cosas.
Demasiado simplificado y en pocas palabras:
Recuerda el eslogan
A -torsor es como el grupo que ha olvidado su elemento neutro.
Ejemplo: un espacio afín es un torsor para un espacio vectorial .
el espacio de Los campos de calibre son un espacio afín, mientras que es un espacio vectorial.
Un torsor T es simplemente un álgebra equipada con una operación ternaria a,b,c ∈ T ↦ abc ∈ T tal que abb = a = bba y (abc)de = ab(cde).
El ejemplo arquetípico de un torsor es un grupo G cuyo producto a,b ∈ G ↦ a·b ∈ G y el inverso a ∈ G ↦ a⁻¹ ∈ G producen la operación torsor abc ≡ a·b⁻¹·c. Esta operación es "afín" en el sentido de que es covariante con respecto a la multiplicación por la izquierda y la derecha - (g·a·h)(g·b·h)(g·c·h) = g·abc·h; por lo que la estructura elimina la posición de "primera clase" de la identidad del grupo.
Las operaciones de grupo en sí pueden recuperarse de la operación ternaria, una vez que se ha especificado una identidad de grupo e ∈ G, definiendo a·b ≡ aeb, a⁻¹ ≡ eae. Entonces es un asunto de rutina demostrar que los axiomas de grupo se derivan de los axiomas de torsor.
Relaciones sugeridas por este ejemplo, como estas (ade)(bde)(cde) = (abc)de, (abc)(abd)(abe) = ab(cde), (abe)(ace)(ade) = a (dcb)e, (abc)de = a(dcb)e = ab(cde), pueden probarse a partir de los axiomas torsor.
Los torsores que se asocian con grupos abelianos son precisamente aquellos para los que también se cumple la identidad abc = cba. En consecuencia, estos pueden denominarse torsores abelianos.
Un torsor T contiene en su interior una estructura de grupo natural de dos maneras. Primero, cada e ∈ T puede tomarse como la identidad de un grupo T_e cuyas operaciones se definen como se acaba de indicar. Esto, podría llamarse el "grupo tangente" en e. Que todos sean grupos confirma la igualdad de condiciones que tienen todos los puntos en el torsor: que cualquiera de ellos puede ser tomado como la identidad del grupo.
En segundo lugar, también se puede definir un cociente formal a,b ∈ T ↦ a\b ≡ ρ[(a,b)] con las clases de equivalencia tomadas con respecto a la relación de equivalencia ρ ∈ T×T generada a partir de las relaciones (cba, d) ρ (a,bcd). Esto implementa la relación cba\d = a\bcd. El álgebra resultante δT ≡ (T×T)/ρ es un grupo con producto (a\b)·(c\d) = cba\d = a\bcd y (así) una identidad de grupo igual a a\a para todo a ∈ T, y una inversa (a\b)⁻¹ = b\a.
Este grupo actúa sobre el torsor de la derecha por la acción a(b\c) = abc. Puede confirmar esto observando que a(b\c)(d\e) = (abc)de = ab(cde) = a(b\cde); mientras que la buena definición de la operación sigue ya que a(dcb\e) = a(dcb)e = ab(cde).
Los grupos tangentes T_e, para cada e ∈ T son isomorfos entre sí y con δT; con el isomorfismo dado por las correspondencias π_e: a ∈ T_e ↦ e\a ∈ δT, π_e⁻¹: a\b ∈ δT ↦ eab ∈ T_e, que son inversas entre sí. La composición π_f⁻¹ ∘ π_e: a ∈ T_e ↦ fea ∈ T_f produce los isomorfismos entre los respectivos grupos tangentes.
A partir de esto, también se puede hablar de un Torsor T de Lie como una variedad cuya operación de torsor satisface propiedades de suavidad adecuadas. Los grupos tangentes y la acción del grupo luego proporcionan la estructura de un paquete principal en el torsor T con fibra δT. De hecho, la definición misma de paquetes principales (y paquetes asociados) se puede representar de una manera más transparente y directa de manera análoga a lo que se ha hecho aquí.
También están relacionadas las geometrías afines, que guardan la misma relación con los espacios vectoriales que los torsores con los grupos. Además de la operación torsor abeliana a,b,c ∈ A ↦ abc = a - b + c ∈ A de una geometría afín A, también tiene la operación "baricentro" a,c ∈ A, λ ∈ F ↦ [a ,λ,c] = (1-λ)a + λc ∈ A, donde F es el campo subyacente.
Para recuperar las propiedades torsor, y recuperar la estructura de un espacio vectorial sobre el campo F para las fibras A_o, para cada o ∈ A, basta postular las siguientes identidades [a,0,c] = a, [a ,1,c] = c y [a,λν(1-ν),[b,μ,c]] = [[a,λν(1-μ),b],ν,[a,λμ(1- v),c]]; y definir la operación torsor por abc = [b,1/(1-λ),a],λ,[b,1/λ,c]] para cualquier λ ∈ F - {0,1} ... la independencia de λ siguiente como consecuencia de las otras propiedades. Esto es suficiente para caracterizar geometrías afines en todos los campos excepto los campos de 2 y 3 elementos; que debe manejarse de manera especial.
Se han planteado otras definiciones, más innecesariamente complejas y ofuscadas, para torsores y son de uso común (lo mismo para geometrías afines, así como paquetes principales y asociados). Es cuestión de rutina establecer la equivalencia de cada uno de ellos con lo aquí descrito. Las construcciones alternativas son en su mayoría innecesarias, excepto para agregar algunos nombres a ideas que pueden desarrollarse y expresarse de manera más transparente, como se acaba de hacer aquí. Es posible que desee probar el ejercicio de dibujar las correspondencias relevantes, solo para ver cómo se relacionan con esto y para hacer accesibles las ideas descritas por ellos.
Vale la pena repetir una observación que he hecho previamente en otra parte sobre este asunto. No sé por qué los matemáticos ofuscan su formalismo haciendo todo lo posible para evitar escribir las cosas de una manera natural, obvia y transparente como se hace aquí. Pero creo que una gran parte de eso es lo que llamamos "seguridad laboral". Al igual que los escribas egipcios que mantuvieron el monopolio de la ortografía al usar intencionalmente un sistema exagerado incluso cuando finalmente estaban disponibles alternativas mucho mejores (y más fáciles de enseñar) (la escritura del Sinaí y el fenicio), pueden hacerlo para intelectualizar demasiado el tema y ponerlo en práctica. un cortafuegos intelectual alrededor del tema para erigir una barrera de entrada.
Esto es, por supuesto, solo la punta del iceberg. La mayoría de los otros campos de las matemáticas tienen un cortafuegos de ofuscación erigido a su alrededor, similar a lo que acabas de ver aquí. Este problema está profundamente arraigado en la naturaleza humana y, huelga decirlo, es por lo que creo que ha llegado el momento de simplemente automatizar el campo y eliminar al ser humano de la imagen.
Al igual que cuando Logic Theorist ( https://history-computer.com/Library/Logic%20Theorist%20memorandum.pdf ) encontró la prueba dramáticamente más simple de Pons Asinorum; el tipo de simplificación que acaba de ver aquí es lo que verá surgir como resultado. O tal vez un marco para la automatización ya está operativo en este lugar, y estoy hablando en tiempo pasado con esta misma descripción como producto de esa automatización. :)
Demostración del teorema de lógica de orden superior
https://www.google.com/search?q=Theorem+Provers+in+Higher+Order+Logic ;
Probadores de teoremas totalmente automatizados
https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/20050184118.pdf ;
Descubrimiento automatizado de teoremas
https://www.google.com/search?q=Automated+theorem+discovery
acción mínima
ryan thorngren