Un ejemplo estándar de un problema que implica par es abrir una puerta: la misma fuerza F aplicada lejos de la bisagra provoca una aceleración angular mayor que si se aplica cerca de la bisagra.
Siempre tuve problemas para obtener una explicación intuitiva para esto: cuando estás cerca de la bisagra y empujas la puerta con todas tus fuerzas, apenas se mueve, entonces, ¿a dónde va toda la fuerza? ¿A la bisagra quizás?
Modelemos la puerta con una varilla unida a una bisagra. Supongamos que la longitud de la barra es con masa , distribuido uniformemente. Su momento de inercia es . Empujas la varilla con fuerza a distancia , dándole una aceleración angular . Usando obtenemos , o .
Ahora, si consideras cada elemento de masa (partícula) de masa en la barra individualmente, experimenta una fuerza tangencial , dónde es su distancia desde la bisagra, por lo que la fuerza tangencial total sumada sobre todas las partículas es .
Pero de acuerdo con la segunda ley de Newton, Suma de todas las fuerzas externas en la dirección tangencial. Entonces .
¿Qué es esta otra fuerza, , que depende de d (su punto de aplicación de la fuerza)? ¿De dónde viene?
¡Ya has respondido tu propia pregunta! Hay una fuerza entre la bisagra y la puerta. Si la puerta no estuviera unida a la bisagra, comenzaría a volar además de girar.
El único error que tienes es un error en tu integral. La fuerza neta sobre la puerta es en su notación. (Nota: probablemente sea mejor no usar para aceleración angular y lineal. es común para la aceleración angular.)
Para una fuerza aplicada fija, si elimina de su expresión, encuentra que para una solicitud , la fuerza de la bisagra es . en el limite , está empujando justo en la bisagra y cancela exactamente su empuje. si empujas en , no hay fuerza en la bisagra. Este es el lugar donde, si la puerta estuviera flotando libremente en el espacio, empujar allí movería la puerta hacia adelante, pero comenzaría a girar de manera que el borde de la puerta permanezca estacionario. si empujas en , la bisagra realmente empuja contigo. Dado que la fuerza opuesta de la bisagra disminuye al aumentar , se vuelve más fácil empujar la puerta cuanto más se aleja.
Re: "hacia dónde va la fuerza". La fuerza, dado que no se conserva, no va a ninguna parte, pero la fuerza es una tasa de cambio de la cantidad de movimiento, y podemos hablar de hacia dónde se dirige la cantidad de movimiento. De nuevo, ya has respondido la pregunta. Hay un flujo de impulso desde su mano, a través de la puerta y hacia la bisagra. Si la bisagra fuera débil, podría romperla empujando la puerta cerca de la bisagra, pero la misma fuerza aplicada más lejos no rompería la bisagra.
Tim