Derivando T=F r=IαT=F r=IαT = F\ r = I\alpha para un cuerpo rígido

Me parece que te preocupa lo siguiente:

Supongamos que balanceo un bate de béisbol. En el proceso, le pongo mucho torque y esto hace que gire. Pero, ¿y si solo miro los últimos 1 cm del bate? Esa parte está lejos de mis manos. No lo toqué. Sin embargo, hay fuerzas en esa parte. Entonces, ¿cómo puedo mirar solo las fuerzas de mis manos y averiguar qué sucede con todo el bate? ¿Cómo sé que no tengo que preocuparme por otras fuerzas, como las del último centímetro del bate?

La respuesta es que si quieres encontrar el torque neto en el bate, hay dos formas de hacerlo. Una es encontrar la fuerza neta en cada pequeña parte del bate e integrar. Otra es tomar solo la fuerza ejercida por sus manos y calcular el torque a partir de eso. Obtendrá la misma respuesta de cualquier manera.

Esto se debe simplemente a la tercera ley de Newton. El extremo del bate gira debido a las tensiones internas, fuerzas que el bate ejerce sobre sí mismo. Pero el murciélago no puede ejercer ninguna fuerza neta sobre sí mismo. Si hay una fuerza neta de 10 N acelerando el último cm del bate hacia adelante, ese último cm ejerce una fuerza de 10 N hacia atrás sobre el resto del bate, y estas dos fuerzas, que existen en el mismo lugar, producen torsiones opuestas que cancelan .

Por cierto, cualquier buen libro sobre mecánica discutirá esto y lo demostrará. Véase, por ejemplo, la página VII - 13 de Introductory Classical Mechanics de Morin , que es el libro que tengo a mano.

Para llegar a las ecuaciones de movimiento de rotación primero debe derivar la ecuación de momento angular$\vec{H} = \bar{I} \vec{\omega}$y luego diferenciar con el tiempo para obtener$\vec{T} = \bar{I} \vec{\alpha} + \vec{\omega}\times \bar{I} \vec{\omega}$(ver enlace en la parte inferior para más información).

A partir de la ley de Newton del momento lineal para una partícula$\vec{L}_i = m_i \vec{v}_i$y reconociendo que el movimiento se debe a una rotación pura (la parte de traslación se cancela más tarde, así que la ignoro aquí) tienes$\vec{v}_i = \vec{\omega}\times\vec{r}_i$. También tenga en cuenta que el momento lineal tiene un eje a través del centro de masa de la partícula y su momento angular equivalente (o equipolente) con respecto al origen es$\vec{H}_i = \vec{r}_i \times \vec{L}_i$. Entonces todos juntos tenemos

$$\vec{H}_i = \vec{r}_i \times m_i (\vec{\omega}\times\vec{r}_i) = \mbox{-}m_i \vec{r}_i \times \vec{r}_i \times \vec{\omega} = \bar{I}_i \vec{\omega}$$

y el teorema de los ejes paralelos

$$\bar{I} = \sum \mbox{-} m_i [\vec{r}_i \times] [\vec{r}_i \times]$$

dónde$[\vec{r}_i \times] = \begin{pmatrix} 0 & -r_z & r_y \\ r_z & 0 & -r_x \\ -r_y & r_x & 0 \end{pmatrix}$es el operador matricial de productos cruzados .

Por lo tanto, es una cuestión de definición de$\bar{I}$que da como leyes rotacionales del movimiento

$$\vec{T} = \bar{I} \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times \bar{I} \vec{\omega}$$