Segunda ley de newton para rotacion

  1. ¿Puede la segunda ley del movimiento para la rotación, τ → = I α → , ser utilizado para cualquier eje?

  2. ¿Hay algún caso en que la aceleración α → no está en la dirección del par aplicado τ → ?

La ley correcta es
∑ τ → = d d t ( I ω → ) = I α → + ω → × I ω →
y sirve para cualquier τ → un α → .

Respuestas (1)

De hecho, se puede utilizar para cualquier eje. Pero ten en cuenta que I es una matriz de 3x3. El uso de diferentes ejes requiere que transformes esta matriz, por lo que corresponde a tu conjunto de elección. Esto a veces puede resultar bastante difícil ya que I puede ser bastante complejo.

La aceleración siempre estará en la dirección del par total que actúa sobre su objeto. El momento de inercia no puede ser negativo ya que se calcula de la siguiente manera:

I = ρ ( r ) r 2 d V

Con ρ ( r ) siendo la densidad del objeto y r la distancia al punto de pivote. Todos estos son positivos. Ahora podemos concluir que en ninguna situación sería posible tener una relación negativa entre α → y τ → . Por supuesto, la velocidad angular no necesita estar en la dirección del par total.

pero como dijiste I es una matriz por lo que podría cambiar la dirección de α → al actuar sobre ella. Así que dirección de τ → podría ser diferente!
Supuse implícitamente que los ejes utilizados son los ejes principales del sistema, en cuyo caso los elementos no diagonales de I son cero. Así que eso fue un error de mi parte, mis disculpas.
Si calculáramos el primer elemento de τ → obtendríamos
τ 1 = I 11 . α 1 + I 12 . α 2 + I 13 . α 3
Repitiendo esto para los otros elementos me parece obvio que α → no estaría en la misma dirección del par, lo que me parece increíblemente contrario a la intuición. En este momento, estoy realmente convencido de que me estoy perdiendo algo.
Si el momento de inercia de la masa de 3 × 3 se define en coordenadas fijas del cuerpo como I b o d y y la matriz de rotación de 3×3 para el cuerpo es R entonces el MMOI en coordenadas mundiales es
I = R I b o d y R ⊤
Esto se interpreta como transformar a coordenadas locales, aplicar el MMOI y volver a transformar a coordenadas mundiales.
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