¿Explicación de que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad o al cuadrado de la velocidad?

La expectativa ingenua de uno sería que a medida que el objeto se mueve a través del medio, choca con las moléculas a una velocidad proporcional a$v$. El volumen barrido en el tiempo$t$es$A v t$, dónde$A$es el área de la sección transversal, por lo que la masa con la que choca es$\rho A v t$. El impulso en cada colisión es proporcional a$v$, y por lo tanto la fuerza de arrastre debe ser proporcional a$\rho A v^2$, con una constante de proporcionalidad$C_D$(el coeficiente de arrastre) de orden unidad.

En realidad, esto solo es cierto para un cierto rango de números de Reynolds, e incluso en el rango de números de Reynolds para el cual es cierto, la imagen de colisión independiente anterior no es lo que realmente sucede. A números de Reynolds bajos se obtiene un flujo laminar y$C_D\propto 1/v$, mientras que a números de Reynolds más altos hay turbulencia y se obtiene$C_D$aproximadamente constante.

Para decirlo en términos simples, a baja velocidad, la resistencia se debe solo a la viscosidad del fluido.

A alta velocidad, el impulso que le estás dando a cada paquete de aire es proporcional a la velocidad, y la cantidad de paquetes de aire por segundo a los que lo estás haciendo también es proporcional a la velocidad.

Dado que la fuerza es cantidad de movimiento/segundo, es por eso que es proporcional a la velocidad al cuadrado.

Las leyes de movimiento de Newton brindan una explicación simple de por qué la resistencia es proporcional a la velocidad al cuadrado de un objeto en movimiento. Use el ejemplo de un paracaidista que cae y es empujado hacia abajo por la gravedad; pero esta explicación también se aplica a los coches, trenes, aviones, etc.... que están siendo empujados por el aire.

El paracaidista caerá a través de una masa de aire estático ('m') que empujará fuera de su camino y acelerará ('a'). Esto crea una fuerza hacia abajo (Fuerza = ma) por parte del paracaidista en el aire, de acuerdo con la segunda ley de movimiento de Newton. La fuerza hacia arriba 'igual y opuesta' se llama arrastre (tercera ley de movimiento de Newton). El arrastre es igual a la fuerza hacia abajo ejercida por el paracaidista que cae para empujar el aire fuera de su camino.

ESTÁ BIEN. Entonces, si (antes de la velocidad terminal), el paracaidista duplicara su velocidad hacia abajo. Entonces: (i) La masa de aire que cae cada segundo se duplicará (m x 2). (ii) El paracaidista golpeará cada molécula de aire con el doble de impulso que antes y, por lo tanto, duplicará la aceleración de cada molécula de aire golpeada (a x2). El efecto combinado de estos dos es cuadruplicar la fuerza hacia abajo (Fuerza x4 = 2m x 2a). En consecuencia, el arrastre 'igual y opuesto' del paracaidista se cuadruplicará (Arrastre x4). Simple. Si la velocidad del paracaidista se duplica, la resistencia se cuadriplicará. Esta explicación no está en ningún libro de texto.

En este proceso, la energía y el impulso se transfieren del paracaidista al aire. Así que no hay pérdida o ganancia neta de masa, cantidad de movimiento o energía en este proceso.

El paracaidista alcanza la velocidad terminal cuando la gravedad (la fuerza que actúa sobre el paracaidista) ya no puede acelerar al paracaidista a una velocidad mayor. Pero no dejes que la gravedad o la velocidad terminal te confundan, no son fundamentales para explicar la relación entre la resistencia y la velocidad del paracaidista.

Esta explicación se puede aplicar a cualquier objeto que caiga a través de un fluido; Como una piedra que cae a través del agua o el aire.

Creo que la forma más sencilla de expresarlo es pensar que si algo va más rápido, más moléculas de fluido interactuarán con la superficie, lo que aumentará la resistencia. Esta es definitivamente, con mucho, la explicación más simple. Si quieres una explicación visual, mira ese video de veritasium sobre él nadando en una piscina llena de bolas de sombra.