Velocidad de un objeto flotante bajo el agua [cerrado]

Question

Velocidad de un objeto flotante bajo el agua [cerrado]

Abdulsalam_Musaad

Traté de encontrar una ecuación para la velocidad y la aceleración de un objeto que flota desde cierta profundidad del agua hasta la parte superior. Pero la ecuación siempre da una solución imaginaria en el caso de flotar donde el peso ( $m\cdot g$ ) es menor que el peso del volumen de agua desplazado ( $V\cdot\rho\cdot g$ ). Preguntaría si alguien conoce una solución mejor o si hay algún problema con mi ecuación.

La siguiente es una explicación de los pasos que hice:

$m=$ masa del objeto

$V=$ volumen del objeto

$g=$ aceleración gravitacional

$CD=$ coeficiente de arrastre

$\rho=$ densidad del agua

F = F_{b} - F_{gramo} - F_{d}

$F= F_b - F_g - F_d$

metro \cdot a = V \cdot ρ \cdot gramo - metro \cdot gramo - \frac{ρ \cdot C D \cdot A \cdot v^{2}}{2}

$m\cdot a = V\cdot\rho\cdot g - m\cdot g - \frac {\rho\cdot CD\cdot A\cdot v^2}{2}$

\frac{d v}{d t} = \frac{(V \cdot ρ - metro) gramo}{metro} - \frac{ρ \cdot C D \cdot A \cdot v^{2}}{2 \cdot metro}

$\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} = \frac{(V\cdot\rho-m)g}{m} - \frac{\rho\cdot CD\cdot A\cdot v^2}{2\cdot m}$

Resolviendo esta ecuación diferencial usando Mathematica para obtener el valor de la velocidad (v) de la siguiente manera:

DE= v'[t]-(((V*p-m)*g)/m)+(p*A*Cd*(v[t]^2)/(2*m));

sol=DSolve[{DE==0,v'[0]==(((V*p-m)*g)/m)},v[t],t];

v=v[t]/.sol[[1]];

la velocidad ( $v$ ) y aceleración ( $a$ ) las ecuaciones son:

v = - \sqrt{\frac{2 (metro - V \cdot ρ) gramo}{A \cdot C D \cdot ρ}} \cdot broncearse (\sqrt{\frac{A \cdot C D \cdot gramo \cdot ρ \cdot (metro - V \cdot ρ)}{2}} (\frac{t}{metro}))

$v = - \sqrt{\frac{2(m-V\cdot\rho)g}{A\cdot CD\cdot\rho}} \cdot\tan \left(\sqrt{\frac{A\cdot CD\cdot g\cdot\rho\cdot(m-V\cdot\rho)}{2}}\left(\frac{t}{m}\right)\right)$

a = \sqrt{\frac{(V \cdot ρ - metro) gramo}{metro}} - \frac{(metro - V \cdot ρ) gramo}{metro} \cdot {broncearse}^{2} (\sqrt{\frac{A \cdot C D \cdot gramo \cdot ρ \cdot (metro - V \cdot ρ)}{2}} (\frac{t}{metro}))

$a= \sqrt{\frac{(V\cdot\rho-m)g}{m}} - \frac{(m-V\cdot\rho)g}{m}\cdot\tan^2 \left(\sqrt{\frac{A\cdot CD\cdot g\cdot\rho\cdot(m-V\cdot\rho)}{2}}\left(\frac{t}{m}\right)\right)$

Gert

"Pero la ecuación siempre da una solución imaginaria" No veo ninguna. El problema tiene una solución Real.

Bob D.

Todavía no he mirado su trabajo, pero ¿la profundidad inicial es tal que la densidad del agua puede considerarse constante desde allí hasta la superficie?

FizzKicks

¡Hola OP! Si pudiera tratar de ordenar su pregunta un poco (por ejemplo, consulte la guía de MathJax aquí - math.meta.stackexchange.com/questions/5020/… ) es posible que a los usuarios de PSE les resulte más fácil leer su pregunta. , ¡y obtendrás respuestas mejores y de mayor calidad!

Gert

Podría ser útil para calcular la velocidad terminal .

Abdulsalam_Musaad

@Gert Si supuse que el objeto era un cuadro vacío. de modo que su peso (m g) es menor que la fuerza de flotación (V densidad del agua g). El término sqrt(mV p) en las ecuaciones de velocidad y aceleración siempre dará una solución imaginaria.

Abdulsalam_Musaad

@ MC2k gracias, ¡lo edité!

Respuestas (2)

Velocidad de un objeto flotante bajo el agua [cerrado]

"Pero la ecuación siempre da una solución imaginaria" No veo ninguna. El problema tiene una solución Real.
Todavía no he mirado su trabajo, pero ¿la profundidad inicial es tal que la densidad del agua puede considerarse constante desde allí hasta la superficie?
¡Hola OP! Si pudiera tratar de ordenar su pregunta un poco (por ejemplo, consulte la guía de MathJax aquí - math.meta.stackexchange.com/questions/5020/… ) es posible que a los usuarios de PSE les resulte más fácil leer su pregunta. , ¡y obtendrás respuestas mejores y de mayor calidad!
@Gert Si supuse que el objeto era un cuadro vacío. de modo que su peso (m g) es menor que la fuerza de flotación (V densidad del agua g). El término sqrt(mV p) en las ecuaciones de velocidad y aceleración siempre dará una solución imaginaria.

Tomás · Answer 1

La aceleración cambia de signo dependiendo de si el objeto es más pesado o más liviano que el agua, por lo que también debe cambiar el signo debajo de la raíz cuadrada para la velocidad (para que el argumento sea siempre positivo). Es posible que desee consultar mi página web https://www.physicsmyths.org.uk/buoyancy.htm para obtener una derivación y una explicación completas, incluidas las gráficas de algunos casos de ejemplo. Cito el resultado final para la velocidad de allí.

v (t) = v_{T} \cdot t a norte h (\frac{gramo \cdot (metro - {metro}_{d}) \cdot t}{v_{T} \cdot (metro + {metro}_{d})})

$v(t) = v_T \cdot tanh(\frac{g\cdot (m-m_d)\cdot t}{v_T\cdot (m+m_d)})$

con la velocidad terminal

v_{T} = \sqrt{\frac{2 \cdot | metro - {metro}_{d} | \cdot gramo}{ρ \cdot C_{D} \cdot A}}

$v_T=\sqrt{\frac{2\cdot|m-m_d|\cdot g}{\rho\cdot C_D\cdot A}}$

dónde

{metro}_{d} = ρ \cdot V

$m_d = \rho \cdot V$

es la masa desplazada.

Tenga en cuenta que, en contraste con el resultado que citó, el argumento de la $tanh$ función (usted escribió en realidad $tan$ por error) tiene $m+m_d$ en el denominador no $m$ . Esto se debe a que la gravedad tiene que acelerar no solo la masa $m$ pero también la masa desplazada $m_d$ (en la dirección opuesta). De lo contrario, un objeto flotante con masa cero tendría una aceleración infinita, lo cual no es posible (la aceleración máxima que puede alcanzar un objeto flotante es, de hecho, la aceleración de caída libre $g$ .)

He trazado la velocidad resultante en función del tiempo para el caso de un objeto flotante en el campo gravitacional de la tierra ( $g=981 cm/sec^2$ con sección transversal de $A=1 cm^2$ , masa $m=0.5 g$ , densidad del medio $ρ=1 g/cm^3$ (agua) que es $m_d=1 g$ , y un coeficiente de arrastre $C_D=0.47$ (esfera).

La curva roja es para la teoría habitual (incorrecta) que ignora la masa $m_d$ del fluido desplazado en el denominador de la $tanh$ anterior, la curva azul tiene en cuenta correctamente la masa de fluido desplazada. Mientras que la velocidad terminal $v_T$ es idéntico en ambos casos, el tiempo que tarda en alcanzar esta velocidad es sustancialmente diferente.

He leído su página web y es realmente útil. Veo de las ecuaciones (8) a (10) que la ecuación de velocidad debe derivarse del caso Fg>Fb y luego cambiar el signo del argumento debajo de la raíz cuadrada debe cambiarse si el objeto es más denso que el medio (m> Maryland). Es como si pudiéramos tomar el valor absoluto de (m-md) para obtener la magnitud de la velocidad (v).
@Abdulsalam_Musaad Sí, eso es correcto. Puede tomar el valor absoluto, pero solo debajo de la primera raíz cuadrada, que es la velocidad terminal (esto es solo un escalar) $v_{T} = \sqrt{\frac{2 \cdot | metro - {metro}_{d} | \cdot gramo}{ρ \cdot C_{D} \cdot A}}$ $v_T=\sqrt{\frac{2\cdot|m-m_d|\cdot g}{\rho\cdot C_D\cdot A}}$ no en la expresión de la velocidad real $v (t) = v_{T} \cdot t a norte h (\frac{gramo \cdot (metro - {metro}_{D}) \cdot t}{v_{T} \cdot (metro + {metro}_{D})})$ $v(t) = v_T \cdot tanh(\frac{g\cdot (m-m_D)\cdot t}{v_T\cdot (m+m_D)})$ Tenga en cuenta que en realidad es $tanh$ no $tan$ en la segunda ecuación y el denominador en el argumento debe ser $m+m_D$ no $m$ (como se explica en mi página web physicsmyths.org.uk/buoyancy.htm )
@Abdulsalam_Musaad Lo siento, cometí un error tipográfico arriba. eso debería ser $m_d$ en la segunda ecuación también, no $m_D$

al marrón · Answer 2

Ha establecido la ecuación diferencial correctamente. (Aparte de reafirmar toda su lógica y ecuaciones, no sé cómo darle fe de que he mirado su trabajo y sé que es correcto. Con solo dos advertencias como las siguientes, esto lo confirma hasta el punto de la matemática. No lo hago extender mi respuesta más allá de allí).

No es necesario tener en cuenta la densidad variable del agua. El agua es bastante incompresible y no variará en densidad más allá de cantidades insignificantes, lo que no sería cierto si esto se hiciera en el aire. La única otra cosa que advertiría es que la resistencia puede cambiar con la velocidad; Quiero decir que el término en sí puede cambiar debido a un coeficiente cambiante o incluso a una forma funcional cambiante en diferentes regímenes de flujo (obviamente, la cantidad de arrastre depende del valor de la velocidad $v$ , que no es lo que estoy señalando). Si se trata de una profundidad muy baja y velocidades bajas, asumir la forma de arrastre turbulento de cuadrático podría exagerarlo significativamente. ¿Miró la tabla de rugosidad relativa de Moody o cómo encontrará $C_D$ ?

Gracias por tu respuesta. En realidad, no estoy bien informado sobre este tema de "arrastre". ¿Podría por favor referirme a buenas referencias sobre el tema? Así podría leer más.

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