¿Cuál es la diferencia cualitativa entre la superposición cuántica y los estados mixtos? [duplicar]

Un estado puro es una combinación lineal de estados base$|\psi\rangle = \sum_k c_k |b_k\rangle$. Un estado puro tiene unidad 2-norma; los estados puros se preocupan por el peso al cuadrado$\sum_k |c_k|^2=1$. Lo que significa que los pesos son amplitudes .

Un estado mixto es una combinación lineal de estados puros adjuntos al cuadrado$\rho = \sum_k p_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|$. Un estado mixto tiene unidad 1-norma; los estados mixtos se preocupan por el peso lineal$\sum_k p_k = 1$. Lo que significa que los pesos son probabilidades .

De manera equivalente, un estado mixto es una distribución de probabilidad de estados puros. Si no está seguro de en qué estado puro se encuentra el sistema, su capacidad de predicción se describe como un estado mixto.

De manera equivalente, un estado mixto es lo que obtienes cuando marginas a un estado puro. Si no tiene acceso a algunos qubits con los que está enredado su sistema, su capacidad de predicción se describe como un estado mixto.

Puede representar un estado puro como un estado mixto con un solo estado puro 100% probable (es decir, como una matriz de densidad con un solo valor propio distinto de cero igual a 1).

Puede representar un estado mixto como un estado puro agregando qubits adicionales (es decir, purificación ).

Como cada uno puede representar al otro, la gente discrepa sobre si lo fundamental son los estados mixtos o los estados puros. Afortunadamente a las matemáticas no les importa.

Intentaré agregar una versión bastante intuitiva de la diferencia entre estados puros y mixtos.

Tomemos primero el ejemplo simple de una sola partícula de espín-1/2. Sus estados puros siempre se pueden escribir como superposiciones de estados de espín hacia arriba y hacia abajo medidos a lo largo de alguna dirección particular.$z$. Es decir, escribimos$|\psi\rangle = a |\uparrow_z\rangle + b|\downarrow_z\rangle$e interpretar$|a|^2$,$|b|^2$como las probabilidades que hacen girar las medidas a lo largo de la dirección$z$rendir bien$|\uparrow_z\rangle$o$|\downarrow_z\rangle$. Sin embargo, si$|\psi\rangle$es un estado puro, siempre podemos encontrar una cierta dirección en el espacio tridimensional, digamos${\vec u}$, tal que las medidas de giro a lo largo${\vec u}$ceder siempre con$100\%$certeza del resultado$|\uparrow_{\vec u}\rangle$(o$|\downarrow_{\vec u}\rangle$, dependiendo de la orientación elegida). Para una partícula de espín-1/2, este es el significado físico real y la definición operativa de un estado puro. Por el contrario, los estados mixtos$\hat \rho$son estados para los que no existe tal dirección${\vec u}$Puede ser encontrado. O si lo prefiere, para un estado mixto, las estadísticas de las medidas de giro en cualquier dirección${\vec u}$siempre mostrará probabilidades distintas de cero, con incertidumbres distintas de cero, tanto para $|\uparrow_{\vec u}\rangle$y$|\downarrow_{\vec u}\rangle$.

Nota: Históricamente, la interpretación de spin-1/2 se inspiró en los conceptos de polarización y coherencia de las ondas electromagnéticas. En completa analogía, la radiación electromagnética coherente se caracteriza por una polarización perfecta a lo largo de alguna dirección, mientras que para la radiación incoherente no se puede definir una dirección de polarización aguda.

Generalicemos ahora a un sistema cuántico arbitrario. Primero recuerda que:

1) El espacio de Hilbert correspondiente siempre se genera como la base propia de estado puro común$\lbrace |\psi_\lambda\rangle \rbrace$de un conjunto completo de observables$\lbrace {\hat O}_1, {\hat O}_2, \dots {\hat O}_k\rbrace$. Para la partícula spin-1/2, el conjunto completo fue mínimo y consistió en un solo observable,${\hat \sigma}_z$o${\hat \sigma}_{\vec u}$(dejando de lado el espín total como redundante en este caso), pero en general asumimos que el número (finito) de observables independientes es algo$k > 1$.

2) En realidad, existe un continuo de distintos conjuntos completos de observables que se relacionan entre sí a través de transformaciones unitarias. es decir, si$\lbrace {\hat O}_1, {\hat O}_2, \dots {\hat O}_k\rbrace$es un conjunto completo con base propia$\lbrace |\psi_\lambda\rangle \rbrace$y${\hat U}$es una transformación unitaria,${\hat U}{\hat U}^\dagger = {\hat U}^\dagger{\hat U} = {\hat I}$, entonces$\lbrace {\hat U}{\hat O}_1{\hat U}^\dagger, {\hat U}{\hat O}_2{\hat U}^\dagger, \dots {\hat U}{\hat O}_k{\hat U}^\dagger\rbrace$es también un conjunto completo y determina una base propia$\lbrace {\hat U} |\psi_\lambda\rangle \rbrace$.

3) Los estados puros se pueden mapear entre sí mediante transformaciones unitarias. es decir, si$|\psi\rangle$,$|\phi\rangle$son dos estados distintos, entonces existe algo unitario$\hat U$tal que$|\psi\rangle = {\hat U} |\phi\rangle$.

Como corolario de todo esto, se sigue que cualquier estado puro$|\psi\rangle$puede ser mapeado por una transformación unitaria$\hat U$en un estado propio$|\psi_\lambda\rangle$de un conjunto completo de observables$\lbrace {\hat O}_1, {\hat O}_2, \dots {\hat O}_k\rbrace$, eso es,$|\psi\rangle = {\hat U} |\psi_\lambda\rangle$. Pero luego también se sigue que$|\psi\rangle$es necesariamente un estado propio del conjunto completo$\lbrace {\hat {\bar O}}_1 = {\hat U}{\hat O}_1{\hat U}^\dagger, {\hat {\bar O}}_2 = {\hat U}{\hat O}_2{\hat U}^\dagger, \dots {\hat {\bar O}}_k = {\hat U}{\hat O}_k{\hat U}^\dagger\rbrace$.

En otras palabras, para cualquier estado puro$|\psi\rangle$existe un conjunto completo de observables$\lbrace {\hat {\bar O}}_1, {\hat {\bar O}}_2, \dots, {\hat {\bar O}}_k\rbrace$que vuelve con$100\%$certeza un conjunto de valores promedio con desviaciones estándar que desaparecen,$\langle \Delta {\hat {\bar O}}_j^2 \rangle = 0$,$j = 1, 2, \dots, k$. Esto puede tomarse entonces como una definición operativa de los estados puros.

En la misma línea que antes, los estados mixtos$\hat \rho$son entonces aquellos para los que no existe un conjunto completo tal que$\langle \Delta{\hat {\bar O}}_j^2 \rangle = 0$para todos$j = 1, 2, \dots, k$.

Todo lo demás que ya se ha señalado se mantiene como de costumbre.