Experimento Pound-Rebka-Snider en el marco inercial

En el libro de Schutz (página 120), Schutz primero deriva el corrimiento al rojo gravitatorio en el experimento PRS en un párrafo anterior.

$\frac{\nu^{\prime}}{\nu}=\frac{m}{m+mgh+O(v^4)}=1-gh+O(v^4)$.

Aquí$\nu^{\prime}$es la frecuencia del fotón en la parte superior de la torre después del experimento, y$\nu$en el fondo. (El fotón comienza en la parte superior.)

En un párrafo posterior, (página 123). Él muestra que en un marco inercial, que es un marco de caída libre frente a la Tierra, el corrimiento al rojo gravitatorio es 0. Cito la sección de Schutz.

El experimento del corrimiento al rojo de nuevo . Consideremos ahora un punto de vista diferente sobre el experimento de Pound-Rebka-Snider. Veámoslo en un marco de caída libre, que hemos visto que tiene al menos algunas de las características de un marco de inercia. Tomemos el marco particular que está en reposo cuando el fotón comienza su viaje ascendente y luego cae libremente. Como el fotón sube una distancia h, toma tiempo$\Delta t = h$para llegar a la cima. En este tiempo, el cuadro ha adquirido velocidad.$gh$hacia abajo en relación con el aparato experimental. Entonces, la frecuencia del fotón en relación con el marco en caída libre se puede obtener mediante la fórmula de corrimiento al rojo

$\frac{\nu(free falling)}{\nu (apparatus at top)}=\frac{1+gh}{\sqrt{ 1-g^2h^2}}=1+gh+$términos de orden superior

De la primera fórmula en mi pregunta, vemos que si ignoramos los términos de orden superior, entonces obtenemos$\nu$(fotón emitido en la parte inferior) =$\nu$(en marco de caída libre cuando el fotón llega a la parte superior). Por lo tanto, no hay corrimiento al rojo en un marco en caída libre. Esto nos da una base sólida para postular que el marco de caída libre es un marco de inercia

No entendí la segunda fórmula que he citado. ¿Cómo consiguieron esas cosas en el denominador? La frecuencia en el numerador es la frecuencia del fotón en la parte inferior de la torre en el marco inercial que sería el mismo que$\nu$en el denominador de la primera ecuación, y$\nu(apparatus at top)$¿Está la frecuencia en la parte superior de la torre en el marco de caída libre? ¿Es esto correcto?