El objetivo es derivar el corrimiento al rojo gravitacional SOLAMENTE del principio de equivalencia de Einstein (EEP), sin usar toda la teoría de la Relatividad.
Esta es la derivación "informal" estándar del corrimiento al rojo gravitacional (por ejemplo, Carroll en su libro sigue de esta manera):
Considere un emisor, , por ejemplo, un átomo que vibra, en reposo en un punto cerca de la superficie de la Tierra, digamos, de potencial gravitatorio . Deje que envíe luz, o cualquier otra señal electromagnética, a un receptor en reposo directamente arriba y distancia de eso; el potencial gravitatorio en es , dónde , siendo la aceleración de la gravedad. Dejar Sea la frecuencia de la señal medida en , y la frecuencia de la señal recibida y medida, en . Luego se utiliza el efecto Doppler relativista, en el caso de que el receptor se mueva con velocidad relativa constante respecto al emisor , para demostrar que:
Por el EEP seguirá fácilmente el corrimiento al rojo gravitacional.
Y ahora mi problema:
En la derivación de la fórmula básica para el desplazamiento Doppler clásico (que, como se recordará, es la primera aproximación en de la correspondiente fórmula relativista especial), en la que se basa tan decisivamente el argumento estándar, el emisor y el receptor se mueven con velocidades constantes relativas a un marco inercial y es la velocidad constante del receptor en relación con el emisor y alejándose de él. Es decir, la velocidad del emisor es la misma en el instante de la emisión y, asimismo, la velocidad del receptor es la misma en el instante de la recepción. Este no es el caso cuando y están acelerando en relación con un marco de inercia.
Entonces, ¿debería concluir que el argumento anterior es incorrecto?
No tengo el libro de Carroll, pero no reconozco la descripción que das de la derivación del corrimiento hacia el rojo y, en particular, no veo por qué el corrimiento Doppler relativista es relevante. La derivación con la que estoy familiarizado es decir que el cambio en la energía potencial es , dónde es la masa efectiva dada por . Entonces:
y un reordenamiento rápido da:
No hay cambio Doppler involucrado.
el emisor y el receptor se mueven con velocidades constantes relativas a un marco inercial y es la velocidad constante del receptor en relación con el emisor y alejándose de él.
No, tanto el emisor como el receptor están acelerando y el receptor ha ganado una velocidad extra entre el momento en que se emitió el fotón y el momento en que se recibió.
En otras palabras, considere un emisor y un receptor, ambos acelerando con una aceleración constante , y supongamos que el emisor está a una distancia detrás del receptor. Además, supongamos que es lo suficientemente bajo como para ignorar los efectos relativistas.
Si el emisor (trasero) envía un fotón con longitud de onda , llega al receptor (principal) después de un tiempo (ignorando la pequeña distancia extra que tiene que recorrer el fotón porque el receptor se ha acelerado).
Durante este tiempo, el receptor ha ganado una velocidad extra . Si es pequeño, se aplica el efecto Doppler newtoniano estándar y la longitud de onda del fotón recibido ha cambiado como
charuhas