∑n=1∞a2n∑n=1∞an2\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^2 y ∑n=1∞b2n∑n=1∞bn2\sum\limits_{n=1}^ \infty b_n^2 converge mostrar ∑n=1∞anbn∑n=1∞anbn\sum\limits_{n=1}^\infty a_n b_n converge absolutamente

dada la serie ∑ norte = 1 ∞ a norte 2 y ∑ norte = 1 ∞ b norte 2 converger. Demuestra que la serie ∑ norte = 1 ∞ a norte b norte converge absolutamente.

Mi idea hasta ahora:

  • Es bastante obvio que ambas series dadas convergen absolutamente
  • Entonces el Cauchy-Produc me dice que ∑ norte = 1 ∞ a norte 2 b norte 2 = ∑ norte = 1 ∞ ( a norte b norte ) 2 converge absolutamente

Me quedé atascado en ese punto. De alguna manera me puede dar una pista de cómo resolver esto?

¡Gracias de antemano!

¿ Por qué llamas a este producto de Cauchy ? La forma en que lo escribiste es mucho más simple.
De ( a − b ) 2 ≥ 0 , se deduce a b ≤ 1 2 ( a 2 + b 2 ) . Podrías usar esto y la prueba de comparación.
Mirko tiene toda la razón, el producto de Cauchy se reservó para otra cosa, no lo uses arbitrariamente.

Respuestas (3)

0 ≤ ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b 0 ≤ ( a − b ) 2 = a 2 + b 2 − 2 a b Por lo tanto − 2 a b ≤ a 2 + b 2 , 2 a b ≤ a 2 + b 2 , y consecuentemente 2 | a b | ≤ a 2 + b 2 .

Entonces

∑ norte | a norte b norte | ≤ 1 2 ( ∑ norte a norte 2 + ∑ norte b norte 2 ) < ∞ .

¿No es grande la desigualdad AM-GM?

∑ | a norte b norte | ≤ ∑ b norte 2 + ∑ a norte 2

revelación:

si | a norte | ≤ | b norte | entonces | a norte ⋅ b norte | ≤ b norte 2 demás | a norte ⋅ b norte | ≤ a norte 2 , entonces ∑ | a norte b norte | ≤ ∑ b norte 2 + ∑ a norte 2

Editar: segundo spoiler (solución completa con todos los detalles):

si | a norte | ≤ | b norte | entonces | a norte ⋅ b norte | ≤ b norte 2 ≤ b norte 2 + a norte 2 demás | a norte ⋅ b norte | ≤ a norte 2 ≤ a norte 2 + b norte 2 . En todos los casos | a norte ⋅ b norte | ≤ b norte 2 + a norte 2 entonces ∑ | a norte b norte | ≤ ∑ ( b norte 2 + a norte 2 ) = ∑ b norte 2 + ∑ a norte 2 < ∞ .

Votaré esto si agregas lo que dijiste anteriormente en un comentario.
@MichaelHardy gracias
@Dr.MV Agregué un segundo spoiler con todos los detalles para evitar cualquier mala interpretación
@Mirko ¡Sí! ¡¡¡Eso es mejor!!! ¡Bien hecho!
@Mirko No te preocupes. No había leído tu spoiler añadido. Entonces, disculpa. Espero que tu clase haya ido bien y disfrutes enseñando. - Marca

PISTA:

De Cauchy-Schwarz tenemos

∑ norte = 1 norte | a norte b norte | ≤ ( ∑ norte = 1 norte a norte 2 ) ( ∑ norte = 1 norte b norte 2 )

∑n=1∞a2n∑n=1∞an2\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^2 y ∑n=1∞b2n∑n=1∞bn2\sum\limits_{n=1}^ \infty b_n^2 converge mostrar ∑n=1∞anbn∑n=1∞anbn\sum\limits_{n=1}^\infty a_n b_n converge absolutamente
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v