Prueba de convergencia/divergencia de ∑∞n=1(−1)nsin(nπ)∑n=1∞(−1)nsin⁡(nπ)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^ n\sen\left(\frac{n}{\pi}\right)

Supongo que el argumento estándar debería funcionar. Si$S_n=\sum_{k=0}^na_k$converge entonces$a_k\rightarrow 0$. No se cumple la condición necesaria.

Aplicar$n^{th}$prueba, que establece, si$\lim_{\ n\to\infty} a_n\neq0$entonces$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$diverge

Primero, quieres pensar en

Estás trabajando módulo$2\pi$, así que tienes que pensar en$\frac{n}{\pi}$módulo$2\pi \mathbb{Z}.$

Desde$1/\pi^2$es irracional, hay sucesiones de números naturales$n_k$tal que la parte fraccionaria de$\frac{n_k}{2\pi^2}$tiende, por ejemplo, a$1/3$(cualquier número tal que$sin\ a\neq 0$servirá). Esto significa que$|sin(n_k/\pi)|$tiende a un número distinto de cero como$k\to \infty$.

Consulte esta pregunta (o busque la equidistribución de Weyl para obtener un mejor resultado) para obtener el resultado de densidad utilizado: múltiplos de un número irracional que forman un subconjunto denso