¿Existe una prueba real para el Principio de Incertidumbre energía-tiempo?

Según tengo entendido, el principio de incertidumbre de energía-tiempo no se puede derivar de la relación de incertidumbre generalizada. Esto se debe a que el tiempo es una variable dinámica y no observable en el mismo sentido que lo es el impulso.
Cada libro de QM de pregrado que he encontrado ha dado una "prueba" muy aproximada de la relación de incertidumbre tiempo-energía, pero no algo que sea riguroso, o algo remotamente cercano a ser riguroso.
Entonces, ¿hay una prueba real para ello? Si es así, ¿podría alguien proporcionarme un enlace o incluso proporcionarme una prueba? Tenga en cuenta que no estoy buscando una prueba usando principios mecánicos cuánticos, como se indica en los comentarios a continuación.

EDITAR: Todas las pruebas que he encontrado toman la relación de incertidumbre generalizada y dicen "deja Δ τ = σ q / | d q / d t | ", cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Pero esto para mí no es suficiente como una prueba rigurosa. La gente le da a Δτ un significado preciso, pero la relación se prueba simplemente definiendo Δτ, así que solo estoy buscando una prueba ( si hay alguna) que muestre ese significado a través de las matemáticas. Si no existe una mejor prueba, que así sea. Entonces estaré contento con solo la prueba a través de la cual definimos esa cantidad. Al definirla de esta manera, hay espacio para la interpretación. , y esto se muestra en el significado múltiple que los investigadores le han dado a esa cantidad (todo lo relacionado con el tiempo, por supuesto).

Los matemáticos lo llaman Cauchy-Schwarz, creo, al menos se puede derivar de él: physics.stackexchange.com/q/24116 . Si toma una clase de análisis funcional, se considera como "material introductorio". Habiendo dicho eso, no confundas la física con las matemáticas.
@CuriousOne, sé que al usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede derivar el principio de incertidumbre generalizado, pero como el tiempo es una variable dinámica (no se puede calcular su conmutador con el hamiltoniano), no veo cómo se puede derivar el tiempo -Relación de incertidumbre energética a partir del principio de incertidumbre generalizada. Todos los libros (y los enlaces provistos) lo derivan simplemente diciendo "let Δτ=σq/|dq/dt|" pero esto no me satisface.
Ahí es donde entra mi comentario "no confundas las matemáticas con la física". Esta relación se mantiene independientemente de la naturaleza cuántica de tus funciones. Se ha utilizado muchas veces en los algoritmos WIFI integrados en su teléfono celular. No se puede derivar algo de la teoría cuántica que no requiera ninguna cuantificación.
@CuriousOne, pero ¿no se puede derivar de la mecánica ondulatoria o tal vez del análisis de Fourier? Si dije/implicaba que tenía que ser derivable DE la mecánica cuántica, entonces me equivoqué al hacerlo.
No creo que haya uno, por la misma razón que dices. En el "principio de incertidumbre" energía-tiempo, esa interpretación de Δ τ lo que escribe en su última línea es tan bueno como puedo decir: es solo una medida vaga del tiempo para que la expectativa de un observable cambie notablemente. Me gustaría que la gente no tratara de hacerlo pasar por el mismo fenómeno que la desigualdad de Heisenberg, que, a menos que alguien pueda mostrarnos una interpretación de la varianza de un observable para Δ τ , es decididamente un principio y un argumento diferente.
En este punto realmente no entiendo tu pregunta. Cauchy-Schwarz es un enunciado muy general sobre vectores para los que existe un producto interno. Esto se puede llevar a espacios de funciones, operadores lineales, etc. Eso es todo. Aquí no hay física porque no tiene otra motivación física que la de que las series de tiempo pueden verse como vectores y hay un espacio dual con propiedades razonables.
@CuriousOne entiendo totalmente su punto, pero ¿no se usa la desigualdad CS para derivar la relación de incertidumbre generalizada? Pero entonces, ningún libro puede rigurosamente (no el tipo de rigor matemático) derivar la incertidumbre tiempo-energía del principio de incertidumbre generalizado. La desigualdad CS se usa para la derivación de la relación de incertidumbre generalizada y estoy de acuerdo con esa prueba. Pero, cuando terminamos con esa prueba y queremos derivar de eso la relación de incertidumbre de tiempo-energía, eso es con lo que no estoy satisfecho (la segunda derivación). ¡Espero no haberte confundido más!
¿Qué quiere decir con su edición de que "esto para mí no es suficiente como prueba"? ellos definen Δ t (porque como dices no se puede definir como los otros Δ A es donde A es algún operador, por lo que necesitamos hacer algo diferente) y luego probar la relación. Que usted está personalmente insatisfecho con esta elección de Δ t no afecta la corrección de la prueba de ninguna manera.
@CuriousOne ¿Pero simplemente definir una cantidad que tiene las unidades de tiempo como Δτ y luego dar nuestra propia definición lo convierte en lo que decimos que es? Mi problema es que esta prueba no le da el significado preciso que la mayoría de la gente dice que tiene. Entonces, estoy pidiendo una prueba que realmente muestre a través de las matemáticas el significado que la gente dice que tiene.
Vea la respuesta de Josh a ¿Qué es ΔtΔt en el principio de incertidumbre de tiempo-energía? para una discusión relacionada.
Una forma alternativa de pensar Δ mi Δ t sería considerar Δ pags Δ X dónde pags y X son componentes de 4-momentum y 4-position. Entonces simplemente resulta que Δ mi Δ t es simplemente el componente temporal. No tengo idea de cuán riguroso es esto, por lo que no se publicó como respuesta

Respuestas (3)

El principal problema es, como dices, que el tiempo no es un operador en la mecánica cuántica. Por lo tanto, no hay valor esperado ni varianza, lo que implica que debe indicar qué Δ t se supone que significa, antes de que puedas escribir algo como Δ mi Δ t ≥ ℏ o similar.

Una vez que define lo que quiere decir con Δ t , las relaciones que parecen similares a las relaciones de incertidumbre se pueden derivar con todo el rigor matemático que desee. La definición de Δ t por supuesto debe provenir de la física.

En su mayoría, por supuesto, la gente ve Δ t no como una incertidumbre sino como una especie de duración (ver, por ejemplo, los famosos anchos de línea naturales, para los cuales estoy seguro que existen derivaciones rigurosas). Por ejemplo, puede hacer las siguientes preguntas:

  • Dada una señal de longitud temporal t (se necesita t de "sin señal" a "la señal ha llegado por completo"), ¿cuál es la variación de energía/momento? Esto se puede asignar al principio de incertidumbre habitual, porque la longitud temporal es solo una dispersión en el espacio de posición. También está relacionado con el llamado principio de incertidumbre de Hardy , que no es más que el principio de incertidumbre de Fourier disfrazado y completamente riguroso.

  • Si realiza una medición de energía, ¿puede relacionar la duración de la medición y la incertidumbre energética de la medición? Esto es muy problemático (ver, por ejemplo, la revisión aquí: La relación de incertidumbre de tiempo-energía . Al elegir un modelo de medición, probablemente pueda derivar límites rigurosos, pero no creo que un límite riguroso sea realmente útil, porque probablemente ningún modelo de medición captura todo lo que es posible en los experimentos.

  • Puede hacer la misma pregunta sobre el tiempo de preparación y la incertidumbre energética (consulte la revisión).

  • Puedes preguntar: dado un estado | ψ ⟩ , ¿cuánto tarda un estado en evolucionar a un estado ortogonal? Resulta que existe una relación de incertidumbre entre la energía (dada por el hamiltoniano de la evolución del tiempo) y la duración: esta es la relación de Mandelstamm-Tamm a la que se hace referencia en la otra pregunta. Esta relación se puede hacer rigurosa ( este artículo aquí podría dar una derivación tan rigurosa, pero no puedo acceder a ella).

  • otras ideas (ver también la reseña)...

En otras palabras: primero tienes que decirme qué Δ t es significar. Entonces tienes que decirme qué Δ mi se supone que significa (se podría argumentar que esto es claro en la mecánica cuántica). Solo entonces puede plantearse de forma significativa la cuestión de la derivación de una relación de incertidumbre energía-tiempo. El principio de incertidumbre generalizada hace justamente eso, te dice que el Δ las cantidades son variaciones de los operadores, por lo que tiene una pregunta bien definida. Los libros que estás leyendo parecen ofrecer solo heurísticas físicas de lo que Δ t y Δ mi media en circunstancias especiales; por lo tanto, una derivación matemáticamente rigurosa es imposible. Sin embargo, eso no es un problema en sí mismo, porque las heurísticas pueden ser muy poderosas.

Estoy totalmente a favor de pedir pruebas rigurosas donde la pregunta subyacente pueda plantearse de manera rigurosa, pero dudo que ese sea el caso aquí para una relación de incertidumbre universalmente válida, porque dudo que una definición universalmente válida de Δ t se puede dar.

¡Creo que esta pregunta capta la esencia de lo que estoy preguntando! El hecho de que en la "prueba" estándar estemos definiendo Δτ deja espacio para interpretaciones como las que has presentado. ¿No es esta esencialmente tu respuesta? ¿Que debo decirte exactamente qué significa Δτ para tratar de derivarlo?
Sí. Y quería transmitir dos cosas más: (i) en ciertos casos, sabemos lo que Δ τ es y, por lo tanto, puede derivar límites rigurosos como la desigualdad de Mandelstam-Tamm; (ii) en general, dudo que esto sea cierto, es decir, no creo que podamos dar una definición que sea válida para toda la mecánica cuántica y siempre dé un principio de incertidumbre. Tal definición parecería poco física, porque algo como "tiempo transcurrido" siempre tiene cierta arbitrariedad (¿cuándo empiezo a medir? ¿Cuándo me detengo?).

Este es el caso. La relación de incertidumbre con la energía y el tiempo es una cuestión de análisis de Fourier. De hecho la relación Δ ω Δ t ≃ 1 era conocido en EM clásica e ingeniería eléctrica antes de la física cuántica. El uso del análisis de Fourier en ingeniería eléctrica tenía una relación de incertidumbre muy similar a la relación recíproca entre frecuencia y tiempo.

La mecánica clásica tiene relaciones de paréntesis de Poisson entre el momento y la posición, y la mecánica cuántica tiene un operador de reemplazo de estos

{ q , pags } = 1   →   [ q , pags ] = i ℏ .
No hay paréntesis de Poisson en la mecánica hamiltoniana entre el tiempo y la energía. En la mecánica cuántica, como corolario, usando la palabra informalmente, no hay operador de tiempo. Esto lleva a algunas complejidades interesantes con la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos.

La mecánica cuántica es una mecánica ondulatoria, y la base analítica de Fourier para la incertidumbre tiempo-energía es "suficientemente buena" para aceptarla. La base física para la incertidumbre energía=tiempo es lo suficientemente fuerte como para aceptarla. Solo tenemos una situación distinguible entre el espacio y el impulso frente al tiempo y la energía. En cierto sentido, esta es una marca que es contraria a la idea de Einstein.

Pero, ¿hay una prueba real? ¿Un más riguroso (no el tipo de rigor matemático)?
@QuanticMan que suena como si quisieras observaciones documentadas. Una prueba (en este contexto) es matemática por definición. Fuera de eso, no se prueba nada, solo se teoriza y se observa para que coincida con la teoría.
Estoy hablando de demostración matemática.

Respuesta corta: la incertidumbre del impulso de posición existe porque sus operadores no se desplazan. Asimismo, los operadores de tiempo y energía no se desplazan.

Respuesta más larga: primero: la física es una ciencia empírica, por lo que la "prueba" debe ser un experimento. A veces, se permitirán experimentos mentales porque son útiles para construir y probar modelos. Las pruebas matemáticas no son pruebas físicas.

La síntesis en física implica la construcción de modelos (generalmente modelos matemáticos) para explicar el comportamiento observado. En QM estos edificios intelectuales han llegado bastante lejos.

Dentro de los contextos de esos modelos matemáticos para QM, señalaría lo siguiente:

1) El "estado" de un sistema QM está representado por una "función de onda", \psi, cuya amplitud brinda información sobre los resultados esperados de los experimentos.

2) Varias observaciones se ven como operadores en funciones de onda. Por ejemplo, posición es el operador "x". Curiosamente, en la construcción de los modelos, el impulso se ha interpretado como "\parcial / \parcial \Vec(x)", es decir, gradiente. ¿Por qué? bien porque explica los experimentos observados. (nuevamente, el estándar de "verdad" o "prueba" o derivación en física)

3) La predicción de medidas de observables es un funcional que actúa sobre la función de onda y el operador. Entonces, por ejemplo, la expectativa de medir la posición es <\psi|x|\psi> (usando la notación bra ket)

4) Relación de incertidumbre posición-momento: tenga en cuenta que el operador de momento, P=\parcial/\parcial \vec(x) no conmuta con el operador de posición. Es decir, Px <> xP, de hecho, el anti-conmutador [P,x] \defined Px - xP = 1 (cuando uno nota que he usado unidades donde h-bar = 1) Recuerde considerar P y x como operadores y aplique el regla de la cadena para diferenciación. Esta anti-conmutación de los operadores es, dentro de los modelos construidos sobre QM, la fuente de la relación de incertidumbre. Es decir, no todos los operadores viajan diariamente.

5) Ahora considere el tiempo y la energía. Para que se observen, ambos deben interpretarse como operadores que actúan sobre funciones de onda. ¿Cuáles son los operadores de tiempo y energía? - simple. El operador de tiempo es simplemente la multiplicación por t. El operador de energía es E\ definido \parcial / \parcial t. --- ¿Ves cómo la relación de incertidumbre Energía-tiempo se parece a la relación de incertidumbre del impulso de posición?

QED Bueno, tan cerca como QED es significativo para la física, ya que la física <> las matemáticas. El verdadero crisol viene en cómo esta predicción del modelo matemático utilizado para QM predice y está de acuerdo con el experimento. Y lo hace, muy bien.

Comentarios:

R. En este sentido, no demostramos la incertidumbre de Et a partir de la incertidumbre de xP, sino que usamos la arquitectura matemática desarrollada para QM en general.

B. El tiempo siendo una variable dinámica es y no es un problema. Si desea medir el tiempo, debe definir un operador para hacerlo. En ese sentido, no es diferente de medir la posición, el giro, la carga o...

C. El tiempo como variable dinámica "especial" puede eliminarse adoptando un punto de vista langrangiano, pero esa es otra discusión que conduce al camino de Feynman.

D. La relación de incertidumbre Et desaparece de manera bastante natural de un enfoque relativista. Cuando los 3 vectores se convierten en 4 vectores, es mejor que tengas la incertidumbre, de lo contrario, Heisenberg se enfadará bastante. Entonces, en ese sentido, uno podría "derivar" la incertidumbre Et de la incertidumbre xP al requerir un buen comportamiento bajo consideraciones relativistas, pero en mi opinión, solo notar que los operadores no conmutan es un enfoque más básico. (Claramente un juicio estético intelectual personal, pero creo que compartido por muchos).

De hecho te encuentras con algunos problemas en el primer párrafo porque ni el tiempo ni el habitual mi ^ = i ℏ ∂ ∂ t son formalmente operadores en QM. Consulte physics.stackexchange.com/questions/53802/… physics.stackexchange.com/questions/220697/… physics.stackexchange.com/questions/17477/… y muchos enlaces allí.
¿Existe una prueba real para el Principio de Incertidumbre energía-tiempo?
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