¿Cuál es ΔtΔt\Delta t en el principio de incertidumbre tiempo-energía?

Question

¿Cuál es ΔtΔt\Delta t en el principio de incertidumbre tiempo-energía?

tiempo
energía
Física
mecánica cuántica
Principio de incertidumbre de Heisenberg

Obrero temporal

En QM no relativista, el $\Delta E$ en el principio de incertidumbre tiempo-energía es la desviación estándar límite del conjunto de mediciones de energía de $n$ sistemas preparados idénticamente como $n$ va al infinito. Lo que hace el $\Delta t$ decir, desde $t$ no es ni siquiera un observable?

Cosmas Zachos

Buena explicación de Baez

Nanashi no Gombe

El primer artículo que formula rigurosamente este problema es el de Mandelstam y Tamm .

Respuestas (8)

¿Cuál es ΔtΔt\Delta t en el principio de incertidumbre tiempo-energía?

El primer artículo que formula rigurosamente este problema es el de Mandelstam y Tamm .

joshfísica · Answer 1

Sea un sistema cuántico con hamiltoniano $H$ ser dado. Supongamos que el sistema ocupa un estado puro $|\psi(t)\rangle$ determinada por la evolución hamiltoniana. Para cualquier observable $\Omega$ usamos la abreviatura

⟨ Ω ⟩ = ⟨ ψ (t) | Ω | ψ (t) ⟩ .

$\langle \Omega \rangle = \langle \psi(t)|\Omega|\psi(t)\rangle.$ Se puede demostrar que (ver eq. 3.72 en Griffiths QM)

σ_{H} σ_{Ω} \geq \frac{ℏ}{2} | \frac{d ⟨ Ω ⟩}{d t} |

$\sigma_H\sigma_\Omega\geq\frac{\hbar}{2}\left|\frac{d\langle \Omega\rangle}{dt}\right|$ dónde

σ_{H}

$\sigma_H$ y

σ_{Ω}

$\sigma_\Omega$ son desviaciones estándar

σ_{H}^{2} = ⟨ H^{2} ⟩ - ⟨ H ⟩^{2}, σ_{Ω}^{2} = ⟨ Ω^{2} ⟩ - ⟨ Ω ⟩^{2}

$\sigma_H^2 = \langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2, \qquad \sigma_\Omega^2 = \langle \Omega^2\rangle-\langle \Omega\rangle^2$ y los corchetes angulares significan expectativa en

| ψ (t) ⟩

$|\psi(t)\rangle$ . De ello se deduce que si definimos

Δ mi = σ_{H}, Δ t = \frac{σ_{Ω}}{| d ⟨ Ω ⟩ / d t |}

$\Delta E = \sigma_H, \qquad \Delta t = \frac{\sigma_\Omega}{|d\langle\Omega\rangle/dt|}$ entonces obtenemos la relación de incertidumbre deseada

Δ mi Δ t \geq \frac{ℏ}{2}

$\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$ Queda por interpretar la cantidad.

Δ t

$\Delta t$ . Le indica la cantidad aproximada de tiempo que tarda el valor esperado de un observable en cambiar en una desviación estándar, siempre que el sistema esté en estado puro. Para ver esto, tenga en cuenta que si

Δ t

$\Delta t$ es pequeño, luego en un tiempo

Δ t

$\Delta t$ tenemos

| Δ ⟨ Ω ⟩ | = | \int_{t}^{t + Δ t} \frac{d ⟨ Ω ⟩}{d t} d t | \approx | \frac{d ⟨ Ω ⟩}{d t} Δ t | = | \frac{d ⟨ Ω ⟩}{d t} | Δ t = σ_{Ω}

$|\Delta\langle\Omega\rangle| =\left|\int_t^{t+\Delta t} \frac{d\langle \Omega\rangle}{dt}\,dt\right| \approx \left|\frac{d\langle \Omega\rangle}{dt}\Delta t\right| = \left|\frac{d\langle \Omega\rangle}{dt}\right|\Delta t = \sigma_\Omega$

¿Qué sucede si la desviación estándar del observable es en sí misma una función del tiempo? Entonces no podemos argumentar que es el tiempo que tarda la expectativa en cambiar en una sd, ya que sd también es una función del tiempo.
@ user157588 Claro que puedes. no hay nada malo con $\Delta t$ dependiendo del tiempo
@joshphysics: Porque Griffiths dice "asumir que $Q$ no depende explícitamente de $t$ '' (pags. $113$ , edición de 1995).
Nota también en la página web de John Baez aparece $⟨ [A, H] ⟩ = \frac{d}{d t} ⟨ A ⟩,$ $\langle[A,H]\rangle = \frac{d}{dt}\langle A \rangle,$ lo cual es cierto si y solo si $\langle \partial A/ \partial t\rangle = 0$ .
@Dog_69 La dependencia del tiempo a la que me refería cuando dije que no tiene nada de malo $\Delta t$ depender del tiempo no es una dependencia del tiempo proveniente de lo observable mismo. Es la dependencia del tiempo proveniente del estado que evoluciona de acuerdo con la evolución de Schrödinger lo que hace que tanto su valor esperado como su desviación estándar dependan del tiempo.
@joshphysics: Oh, sí, tienes toda la razón. Entendí mal el comentario de MO. Siembro la dependencia del tiempo $A$ y pensé que estaba pidiendo $\langle\partial A \partial t \rangle$ , pero estaba equivocado. Mis disculpas. Meaculpa .
Creo que has obtenido un resultado correcto, pero no es el que la gente tiene en mente cuando se refiere a la incertidumbre energía-tiempo. Más bien, este último es como, y es el resultado de, la incertidumbre de la frecuencia y el tiempo.
@AndrewSteane Estoy de acuerdo con mi experiencia en que parece que hay una desconexión entre este resultado matemático y el uso común de la frase "principio de incertidumbre de energía-tiempo". Sin embargo, nunca profundicé lo suficiente en la literatura como para estar convencido de que lo que la gente quiere decir con este principio puede formalizarse en general de tal manera que se siga matemáticamente de la evolución de Shrodinger. En su mayoría, lo he encontrado de una manera que parece casi una heurística física, pero esto podría ser ignorancia. Es tranquilizador tener un resultado formalmente correcto en el que confiar que sea fácilmente interpretable.
No estoy seguro de cómo la definición de la incertidumbre en el tiempo está bien motivada aquí. ¿Cómo justificamos la forma de la varianza del observable? $\Omega$ ?
@joshphysics Creo que se puede hacer un mejor análisis. Quiero decir que los principios de incertidumbre suelen ser una declaración sobre la medición. Pero aquí está utilizando las ecuaciones de movimiento de Heisenberg (que se basan en la evolución unitaria) ... Además, también está integrando, pero sabemos que la medición es discontinua, por lo que no estoy seguro de si esa sería una definición intuitiva ... Actualice tu respuesta a la luz de mi comentario
es la afirmación de que $\Delta t$ ¿Es " la cantidad de tiempo que tarda el valor esperado de un observable cambiar en una desviación estándar siempre que el sistema esté en un estado puro " sin embargo, es precisa? Solo es cierto siempre que la aproximación lineal que está haciendo se mantenga durante el tiempo (generalmente no infinitesimal) que toma para $\langle\Omega\rangle$ para cambiar en módulo por $\sigma_\Omega$ . ¿Hay alguna razón para pensar que esto es cierto en general? En otras palabras, el enunciado es verdadero asumiendo $\partial_t\langle\Omega\rangle$ puede considerarse constante durante ese tiempo
@glS Tenga en cuenta que citó un poco mal: falta "aproximado". Tenga en cuenta también que hay un signo igual ondulado en el cálculo en la última línea que reconoce la linealización a la que se refiere.
@joshphysics Puedo ver que es una aproximación. Lo que me pregunto es si hay razones para creer que esta aproximación está justificada. Si la integral no está cerca de su linealización en general (lo que muy bien podría suceder si el tiempo que tarda el expval en cambiar por una desviación estándar no es pequeño), entonces la declaración que podemos interpretar $\Delta t$ , incluso aproximadamente, como usted dice, podría no ser defendible. Tal vez se pueda argumentar que la aproximación se cumple bajo el supuesto de $\partial_t\langle\Omega\rangle$ sin embargo, varía lo suficientemente lento en el tiempo.
@glS Estoy de acuerdo en que debe tener cuidado con el grado de aproximación que está haciendo según la rapidez con la que varía el integrando en el tiempo. En realidad, existe una versión de este tratamiento del principio de incertidumbre de tiempo-energía debido a Mandelstam y Tamm que define $\Delta t$ de manera que no surjan tales problemas en la interpretación, tal vez lo agregue a esta publicación. Mientras tanto, puedes echarle un vistazo por ti mismo en su periódico. Está vinculado en los comentarios a la pregunta original.
@joshphysics sí, soy consciente de los límites de velocidad cuántica a la mandelstam y tamm y sus variaciones, pero me gusta esta forma de interpretar la relación de incertidumbre de la energía del tiempo, tenía curiosidad por saber si había una manera de hacer esta interpretación en todos los casos/ señalando que probablemente no puedas
@joshphysics, ¿alguna idea de cuál podría ser el término de error involucrado en la aproximación?
@MoreAnonymous Esa es una gran pregunta que nunca he considerado por extraño que parezca (probablemente porque nunca la he usado en la práctica, sino solo como una herramienta conceptual para comprender las implicaciones de la mecánica cuántica). Aunque ahora tengo curiosidad, y si encuentro algo, te lo haré saber. Hay un artículo que podría discutir esto llamado "Análisis matemático del principio de incertidumbre de tiempo-energía de Mandelstam-Tamm" de Gray y Vogt, pero no lo he leído en detalle, por lo que no estoy seguro en este momento.
@joshphysics Mis recursos son limitados ya que actualmente no estoy afiliado a una universidad "Análisis matemático del principio de incertidumbre de tiempo-energía de Mandelstam-Tamm". Sin embargo, esta pausa me permitió crear mi propia derivación del principio de incertidumbre y he tenido éxito con algo que me permite hablar sobre el tiempo de una manera "agradable" y "perspicaz". ¿Conoces alguna derivación termodinámica de este principio? (Busqué en Google pero no tuve éxito) Estoy tentado a publicar mi respuesta y un amigo la verificará :)
Esta es una excelente respuesta. Sugerencia: creo que podría ser aún más informativo si se señalara que esta es una noción de una relación de incertidumbre de tiempo-energía, y que también hay otras nociones. El hecho de que haya más de una noción de este HUP proviene de la falta de un operador de tiempo satisfactorio que normalmente daría un significado y una derivación sencillos.
@doublefelix, ¿puede darnos algunas referencias al respecto?
Consulte "El tiempo en la teoría cuántica y la relación de incertidumbre para el tiempo y la energía" de Aharonov y Bohm (1961) para hablar sobre la relación de incertidumbre. En cuanto a que el operador de tiempo es un problema, conozco dos "pruebas de imposibilidad". El más popular suele denominarse Teorema de Pauli, ya que Pauli escribió una de sus primeras variantes; Creo que puede buscar en Google, pero también puede encontrar una versión moderna, mejorada pero más técnica en "El 'tiempo de ocurrencia' en la mecánica cuántica" de Srinivas (1981), Pramana, vol. 16, págs. 173-199.
La segunda "prueba de imposibilidad" es de Allcock en este documento: sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0003491669902516 , en la página número 264, párrafo que comienza con "el lector puede objetar". Muestra incluso de manera más general que parece haber un problema incluso con un conjunto de funciones propias de tiempo ortonormales, lo que descarta un operador de tiempo y más. La última vez que leí la prueba dudé de uno de los pasos, que involucraba expandir $\psi$ solo en estados propios de impulso positivo, pero es probable que me haya perdido algo.

nikos m. · Answer 2

La relación de incertidumbre tiempo-energía (y otras relaciones de incertidumbre "observables" en el tiempo que se pueden construir) no tiene (se considera) el mismo significado que las relaciones de incertidumbre canónicas . Es decir, relaciones de incertidumbre construidas a partir de variables dinámicas canónicas/observables (en el sentido hamiltoniano), como posición y momento, ya que el parámetro de tiempo no es un observable ni un operador en los formalismos QM/QFT.

De hecho, existen varios enfoques e interpretaciones de la incertidumbre tiempo-energía. Por ejemplo:

Dispersión de energía ( $\Delta E$ ) de un estado y vida ( $\Delta t$ o $\tau_s$ ) del propio Estado.
Intercambio de energía ( $\Delta E$ ) y plazo ( $\Delta t$ ) durante el cual esto puede suceder.
Medición de energía ( $\Delta E$ ) y tiempo ( $\Delta t$ ) necesita precisión (aunque esto se discute rigurosamente, ver más abajo)
..otras formulaciones similares o especializadas de las anteriores

En L. Mandelstam e I. Tamm, "La relación de incertidumbre entre la energía y el tiempo en la mecánica cuántica no relativista", J Phys (URSS) 1945, muestran cómo se pueden derivar relaciones de incertidumbre observables en el tiempo para cualquier observable $A$ con

Δ t = τ_{A} = \frac{Δ A}{d ⟨ A ⟩ / d t}

$\Delta t = \tau_A = \frac{\Delta A}{d\left<A\right> /dt}$

La incertidumbre de tiempo y tiempo-energía se usa mucho en la mecánica estadística (cuántica/mixta) de sistemas, ya que relaciona tiempos medios y tiempos de vida de estados y transiciones (habrá que encontrar algunas referencias)

Se puede encontrar un análisis de varias formulaciones de las relaciones de incertidumbre tiempo-energía en:

Jan Hilgevoord, El principio de incertidumbre de la energía y el tiempo I

y

Jan Hilgevoord, El principio de incertidumbre para la energía y el tiempo II

Resumen:

El principio de incertidumbre para la energía y el tiempo no es una relación de incertidumbre canónica porque no está basada/producida por variables hamiltonianas canónicas, sino que expresa la dispersión y el tiempo de vida de un estado. Hay una confusión de un espacio-tiempo cartesiano $x, t$ (utilizados como parámetros) y posición canónica y momentos ( $q, p$ ) que son funciones de estos parámetros (aunque simples en algunos casos, como $q=x$ )

Miguel · Answer 3

La relación de incertidumbre tiempo-energía tiene una interpretación y una derivación diferentes a las de la relación de incertidumbre para los operadores que no conmutan. Pruebe con John Baez para obtener una explicación, pero, en términos generales $\delta t$ mide el tiempo que tarda el valor esperado de algún operador en cambiar notablemente.

El enlace es útil, pero esta es básicamente una respuesta de solo enlace. La respuesta de Joshphysics ha dado una presentación independiente del contenido de la página de Baez.

pppqqq · Answer 4

Además de la respuesta precisa de Joshphysics, mencionemos otra interpretación (a la que creo que se refiere Ben Crowell en su comentario a la misma respuesta).

Hay una fórmula de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo que da la probabilidad de una transición inducida desde un estado inicial $\lvert i \rangle$ a un estado final $\lvert f \rangle$ con diferencia de energía $\hbar \omega_{if}$ . Se supone que la transición es inducida por una perturbación armónica:

V = V {mi}^{i ω t} + V^{†} {mi}^{- i ω t},

$V=\cal Ve^{i\omega t}+\cal V ^\dagger e^{-i\omega t},$ y la fórmula dice, para la absorción, es decir, la transición a un nivel de energía superior:

{PAGS}_{i \to F} (t; ω) = \frac{| V_{F i} |^{2}}{ℏ^{2}} \frac{{pecado}^{2} (\frac{ω_{F i} - ω}{2} t)}{(\frac{ω_{F i} - ω}{2})^{2}} .

$P_{i\to f}(t;\omega)=\dfrac{\lvert \cal V _{fi} \rvert ^2}{\hbar ^2}\dfrac{\sin ^2(\frac{\omega _{fi}-\omega}{2}t)}{(\frac{\omega _{fi}-\omega}{2})^2}.$

Como una función de $t$ para fijo $\omega$ , la probabilidad crece cuadráticamente para pequeñas $t$ , alcanza su máximo en $t$ dada por:

\frac{| ω_{F i} - ω |}{2} t = \frac{π}{2},

$\frac{\lvert \omega _{fi}-\omega \rvert}{2}t=\frac {\pi} {2},$ eso es:

t Δ mi = \frac{h}{2},

$t\Delta E =\frac {h}{2},$ dónde

Δ mi = | {mi}_{F} - {mi}_{i} - ℏ ω | .

$\Delta E = \lvert E_f -E_i -\hbar \omega \rvert.$

Supongamos que estoy tratando de causar una transición entre dos niveles de energía $i,f$ de un átomo enviando sobre él alguna radiación a una frecuencia $\omega$ . Después $\Delta t$ es el orden de la duración requerida de la interacción para tener una probabilidad constante de una transición (tenga en cuenta que la fórmula anterior para $P_{i\to f}$ tiene sentido en $t=t_{\text{max}}$ sólo si $|V _{fi}|\ll \Delta E$ ).

en lugar de arreglar $\omega$ , podríamos imaginar fijar el tiempo de interacción $\Delta t$ . De nuevo, la fórmula anterior para $P_{i\to f}$ dice que tenemos una probabilidad constante de que ocurra la transición si $\Delta E \ll \frac{h} {\Delta t}$ . Por lo tanto, si queremos determinar $E_f -E_i$ con suficiente precisión variando $\omega$ y viendo si la transición se da o no, hay que tener un gran $\Delta t$ .

Aquí estoy considerando la transición entre dos niveles distintos y estoy asumiendo que el espectro es discreto, en el sentido físico, es decir, $|E_f'-E_i-(E_f-E_i)|$ para cualquier otro nivel $f'$ es mucho mayor que la incertidumbre experimental en $\hbar \omega$ . Si este no fuera el caso, deberíamos considerar la transición no a un solo estado final sino a un grupo $[f]$ de estados finales. La forma correcta de hacer esto es mediante la regla de oro de Fermi, que se analiza en todos los buenos libros de mecánica cuántica (ver, por ejemplo , Sakurai o Griffiths , también para la derivación de la fórmula anterior).

JKL · Answer 5

Se han dado buenas respuestas hasta ahora. Veámoslo desde otra perspectiva:

Piense en dos electrones interactuando entre sí muy brevemente. Esta interacción se produce mediante intercambio de energía, y digamos que es una cantidad $\Delta E$ . El tiempo $\Delta T$ dentro del cual esta energía debe ser intercambiada entre los dos electrones tiene un límite, y está dictada por el principio de incertidumbre de Heisenberg. Cuanto mayor sea la cantidad de energía intercambiada, menor será el tiempo necesario para intercambiarla. Esto lo cuida la naturaleza, los electrones simplemente hacen lo que tienen que hacer; intercambian energía 'siguiendo las reglas'.

De manera similar, un fotón libre transporta una cantidad de energía $E=hf$ . Esto también tiene el significado del principio de incertidumbre de Heisenberg si lo escribes en la forma $E\times T=h$ , ya que $f=1/T$ . Esta cantidad de energía, será transportada por el fotón una distancia de una longitud de onda, $\lambda =c/f$ , en un tiempo no mayor ni menor que el período de su onda de probabilidad. Esto también se aplica cuando interactuamos con la naturaleza durante una medición, como han mencionado otros encuestados. La naturaleza está muy interesada en optimizar su acción, no es derrochadora. Una buena pregunta es: ¿Por qué $h$ tan pequeño como es? ¿Qué determina su valor? No tengo conocimiento de ninguna instalación que produzca este número, aparte de la medida experimental.

misha · Answer 6

El significado es más o menos el mismo que para la incertidumbre del momento coordinado. Además de lo que escribió joshphysics, me gustaría enfatizar que la solución estacionaria de la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo es $\vert \psi \rangle \sim e^{i \frac{E}{\hbar}t}$ . Si desea medir la energía, debe seguir de alguna manera la evolución de esta función de onda en el tiempo. Para medir la energía definitivamente, debes medirla durante un tiempo infinito. Si el tiempo de medición es limitado, la energía no es definitiva.

Técnicamente es más complicado como normalmente $\Delta t$ no es el tiempo de medición, sino el tiempo de unos resultados del proceso que mides. Sin embargo, la idea principal es así de simple.

Cham · Answer 7

He aquí otra interpretación de la relación. $\Delta t \, \Delta E \ge \frac{\hbar}{2}$ .

Tienes un sistema clásico descrito por un lagrangiano $L = \dot{q} \, p - H$ , dónde $H$ es el hamiltoniano que se supone que es independiente del tiempo. La acción del sistema es

\begin{matrix} (1) & S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t = \int_{q_{1}}^{q_{2}} pags d q - mi Δ t = S_{pags} + S_{mi} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} S = \int_{t_1}^{t_2} L \, dt = \int_{q_1}^{q_2} p \, dq - E \, \Delta t = S_p + S_E. \end{equation}$ Ahora considere una variación arbitraria del camino clásico. Luego, la acción se cambiaría por la siguiente cantidad (ahora estoy seguro de qué hacer con la primera parte, que debería dar la otra relación de Heisenberg:

Δ q Δ p \geq \frac{ℏ}{2}

$\Delta q \; \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$ ) :

\begin{matrix} (2) & d S_{mi} = - d mi Δ t . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} \delta S_E = -\: \delta E \, \Delta t. \end{equation}$ Se postula que cualquier variación que cambie la acción en una cantidad menor que $\frac{\hbar}{2}$ no puede ser observable . Esto es similar a la celda mínima del espacio de fase en la mecánica estadística, para la cual

Δ q_{min} Δ p_{min} \sim h \equiv 2 π ℏ

$\Delta q_{\text{min}} \, \Delta p_{\text{min}} \sim h \equiv 2 \pi \hbar$ . Así, para los procesos observables tenemos

| δ S_{E} | \geq \frac{ℏ}{2}

$|\, \delta S_E | \ge \frac{\hbar}{2}$ , lo que implica la relación

\begin{matrix} (3) & Δ t d mi \geq \frac{ℏ}{2} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} \Delta t \; \delta E \ge \frac{\hbar}{2}. \end{equation}$ Aquí,

Δ t \equiv t_{2} - t_{1}

$\Delta t \equiv t_2 - t_1$ es solo el intervalo de tiempo que define el límite de la acción (1) anterior. Este es un intervalo de tiempo "ordinario" clásico.

δ E

$\delta E$ es la cantidad de variación de energía que podría obtener en relación con el valor clásico, durante ese intervalo de tiempo. Si

Δ t

$\Delta t$ es grande entonces

δ E

$\delta E$ debe ser bajo (solo se permiten pequeñas variaciones del movimiento clásico).

Esta "derivación" es muy tosca y ciertamente no es rigurosa.

Su última declaración es precisamente lo que está excluido por la relación de incertidumbre. Entonces no es correcto.

TMS · Answer 8

TMS

Además de lo mencionado en el enlace de @Michael, una de las mejores maneras de pensar es la siguiente:

Cuanto más tiempo dedique a medir su experimento (por lo tanto, la desviación estándar será más pequeña), con mayor precisión medirá la energía de este sistema.

PS Esta interpretación ampliamente utilizada en los libros de texto rusos.

M.Zeng

lo siento, estoy un poco confundido por esta interpretación. ¿Qué significa exactamente pasar más tiempo midiendo el experimento? Para calcular la desviación estándar, necesitamos medir los diferentes resultados posibles utilizando sistemas preparados de manera idéntica y calcular las probabilidades correspondientes.

dmckee --- gatito ex-moderador

Si bien es cierto que los experimentos dominados por el error estadístico ven una mejora en la precisión con el tiempo, esa mejora pasa por

1 / \sqrt{t}

$1/\sqrt{t}$ , no por

1 / t

$1/t$ y en cualquier caso esto no se debe a ningún efecto intrínseco de la mecánica cuántica. Esta es simplemente una forma incorrecta de interpretar el principio de incertidumbre.

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