Conexión entre ΔxΔp≥ℏ2ΔxΔp≥ℏ2\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} y ΔEΔt≥ℏ2ΔEΔt≥ℏ2\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}

El principio de incertidumbre se puede ver como resultado del espacio.$x$y el impulso$p$siendo un par de transformadas de Fourier . La función de onda de partículas libres tiene, de manera similar a la exponencial$e^{-\frac{i}{\hbar} px}$un exponencial$e^{-\frac{i}{\hbar} E t}$. Por lo tanto, se podría esperar una relación de incertidumbre similar para el par de variables$(E, t)$. Un resultado inmediato es que las soluciones con una energía perfectamente definida, soluciones de$\hat H \psi = E \psi$son estacionarios, es decir, su contenido físico no cambia con el tiempo.

Sin embargo, esto no es preciso. La incertidumbre teórica (mínima) de dos variables cualquiera se puede expresar a través de su conmutador (ver Wiki )

Para estados inestables, hay una manera de derivar la incertidumbre que das donde$t$no es el tiempo en general sino el tiempo de vida del estado, dando así una explicación del ancho natural de las líneas espectrales . La derivación (en resumen) se puede encontrar en la página wiki vinculada anteriormente.

La relatividad especial tiene cuatro vectores.$(\Delta t,\Delta \mathbf{r})$y$(E,\mathbf{p})$, por lo que nos gustaría que hubiera una analogía directa entre estas dos relaciones de incertidumbre. De hecho, la analogía falla, porque la posición es un operador en la mecánica cuántica, pero el tiempo no lo es. Peierls tiene una buena discusión sobre esto en Surprises in Theoretical Physics, pp. 36-37:

...el tiempo no es un observable. Una medida de tiempo en sí misma no transmite ninguna información sobre un sistema físico, y una afirmación sobre cualquier otra cantidad física generalmente implica que estamos hablando de su valor en un momento determinado. En el caso de una cantidad conservada, como la energía de un sistema aislado, el resultado también da la energía en cualquier momento. A Landau le gustaba señalar este punto al decir: "Evidentemente, no existe tal limitación: puedo medir la energía y mirar mi reloj; ¡entonces sé tanto la energía como el tiempo!"

Entonces, la relación de incertidumbre energía-tiempo tiene una interpretación fundamentalmente diferente de la relación momento-posición. En realidad, hay múltiples formas de interpretarlo. Una interpretación se da en esta respuesta . Otra es que la relación de incertidumbre se cumple si$E$es la cantidad de energía transferida hacia o desde un sistema, y$t$es el momento en que ocurrió esa transferencia.