¿Existe una predicción de la mecánica cuántica que pueda interpretarse como una "relación de incertidumbre de energía-tiempo"? [duplicar]

Hay un artículo de 1961 de Aharonov y Bohm sobre este tema, en el que se define, entre otras cosas, un tiempo característico para que el valor esperado de un operador se desvíe significativamente, medido por la dispersión inicial en ese operador. Este resultado es esencialmente un teorema que probaremos aquí (Teorema 2).

---

Dejar$\mathcal{S}$sea ​​un espacio de Hilbert,$A$un operador hermitiano (acotado) en$\mathcal{S}$, y$\psi$un vector unitario en$\mathcal{S}$. Por la dispersión de$A$ $($relativo al estado$\psi$$)$nos referimos al número

$$\Delta_\psi A = \left( \left\langle \psi\,\left|\,A^2\,\right|\,\psi \right\rangle - \left\langle \psi\,\left|\,A\,\right|\,\psi\right\rangle^2 \right)^{{1\over2}} = \left( \left\langle \psi\,\left|\,\left(A - \langle \psi\,|\,A\,|\,\psi\rangle I\right)^2\,\right|\,\psi \right\rangle \right)^{{1\over2}}.$$ Entonces, por ejemplo, la dispersión no es negativa y desaparece si y solo si $\psi$es un vector propio de $A$.

Desde$\Delta A$es simplemente un número, y no un operador hermitiano en el espacio de Hilbert, por supuesto que no podemos hacer una observación a través de$\Delta A$. Pero podemos hacer la siguiente mejor cosa. Introducir dos conjuntos de copias del sistema.$\mathcal{S}$, cada copia en estado inicial$\psi$. Permitir que un instrumento observe en sucesión los sistemas en el primer conjunto, a través de$A$; y un segundo instrumento para el segundo conjunto, vía$A^2$. Finalmente, introduzca un tercer instrumento que observe los primeros dos instrumentos a través de un operador apropiado para "calcular$\Delta A$. En este sentido, entonces, el número$\Delta A$tiene un significado físico directo.

Teorema 1. Sea$A$y$B$ser$($encerrado$)$Operadores hermitianos en el espacio de Hilbert$\mathcal{S}$, y$\psi$un vector unitario. Entonces

$$\Delta_\psi A \Delta_\psi B \ge {1\over2}\left|\langle \psi\,\left|\,[A, B]\,\right|\,\psi\rangle\right|.$$

Prueba. Estas son las relaciones de incertidumbre estándar para los observables que no conmutan en la mecánica cuántica.

$\tag*{$\square$}$

Pero, ¿qué pasa con la "relación de incertidumbre energía-tiempo"?

Teorema 2. Sea$H$ser un$($encerrado$)$Operador hermitiano en el espacio de Hilbert$\mathcal{S}$, y$\psi$un vector unitario. Colocar$P = I - |\psi\rangle\langle\psi|$, el operador de proyección ortogonal a$\psi$, y$\psi_t = e^{{{-i}\over{\hbar}} Ht\psi}$. Entonces, para cada número$\Delta t \ge 0$, tenemos

$$\Delta_\psi H \Delta t \ge \hbar \left|\langle \psi_{\Delta t}\, |\, P \,|\, \psi_{\Delta t}\rangle\right|^{{1\over2}}.$$

Prueba. Conjunto, para cada$t \ge 0$,$\alpha(t) = \langle \psi_t \,|\,P\,|\,\psi_t\rangle$. Entonces nosotros tenemos

$$\left|{{d\alpha}\over{dt}}\right| = \left|\left\langle \psi_t\, \left|\, {i\over\hbar} [H, P]\,\right|\, \psi_t\right\rangle\right| = {2\over\hbar} \Delta_{\psi_t} H \Delta_{\psi_t} P,$$ donde usamos el Teorema 1 en el segundo paso. pero $\Delta_{\psi_t}H = \Delta_\psi H$, y $$\Delta_{\psi_t} P = \left( \left\langle \psi_t\,\left|\,P^2\,\right|\,\psi_t \right\rangle - \left\langle \psi_t\,\left|\,P\,\right|\,\psi_t\right\rangle^2 \right)^{{1\over2}} = \left(\alpha - \alpha^2\right)^{1\over2} \le \alpha^{1\over2}.$$ Sustituyendo, obtenemos $$\left|{{d\alpha}\over{dt}}\right| \le \left({2\over\hbar}\right) \left(\Delta_\psi H\right) \alpha^{1\over2}.$$ Dividiendo esta desigualdad por $\alpha^{1\over2}$, integrando de $t = 0$a $t = \Delta t$, y usando eso $\alpha(0) = 0$, el resultado sigue.

$\tag*{$\square$}$

Para aplicar este teorema a problemas físicos, elegimos por$H$, por supuesto, el hamiltoniano del sistema. Entonces$\psi_t$es la solución de la ecuación de Schrödinger con inicial$(t = 0)$estado$\psi$. Más,$\Delta_{\psi} H$es la dispersión de energía relativa a este estado inicial. Podemos interpretar$\left|\left\langle \psi_t\,\left|\,P\,\right|\,\psi_t\right\rangle\right|^{1\over2} = \|P\psi_t\|$como una medida de cuánto el estado$\psi_t$difiere del estado inicial$\psi$. Así, esta expresión se desvanece para$t = 0$ $($cuando$\psi_t = \psi$$)$, y crece desde cero sólo como$\psi_t$adquiere una componente ortogonal a$\psi$. Entonces, el teorema establece, más o menos lo siguiente: "Para obtener un estado evolucionado$(\psi_{\Delta t})$sensiblemente diferente del estado inicial$(\psi)$, debe esperar lo suficiente$(\Delta t)$, y tener suficiente dispersión en el estado inicial$(\Delta_\psi H)$que el producto de estos dos es mayor que el orden de$\hbar$." Por supuesto, el teorema, con estas opciones, hace una predicción comprobable de la mecánica cuántica, utilizando conjuntos adecuados como se describió anteriormente.

---

Uno no puede, en el tiempo$\Delta t$, mide la energía de un sistema dentro del error$\Delta E$a menos que$\Delta E\Delta t \ge \hbar$.

No sé qué significa esta declaración, porque no sé qué experimento se está contemplando. La parte "... medir la energía de un sistema dentro del error..." sugiere la idea de que los sistemas cuánticos tienen algo de "energía real". Pero, según la mecánica cuántica, no lo hacen. Lo que "tienen" es un rayo en su espacio de estados de Hilbert, mientras que la energía es un operador en este espacio de Hilbert. (Tal vez esta idea es un vestigio de la mecánica clásica, en la que los sistemas "tienen una energía", porque allí la energía es una función en el espacio de los estados clásicos). Además, incluso si pensáramos que los sistemas cuánticos tienen algo de energía verdadera , no está claro cómo se supone que adquirimos la información sobre la discrepancia entre esta energía verdadera y nuestro valor medido.

Sobre un conjunto de sistemas, todos en estado inicial$\psi$, que se haga una determinación, llevada a cabo en el tiempo$\Delta t$, de la dispersión del hamiltoniano,$\Delta_\psi H$. Entonces$\Delta_\psi H \Delta t \ge \hbar$.$($Ver antes.$)$

Esto pretende ser una versión aclarada de la primera declaración. Ahora, se afirma, el experimento es más o menos claro. Pero, desafortunadamente, esta afirmación es falsa. para fijo$\psi$y$H$, no veo obstáculo para tomar esta determinación en un tiempo arbitrariamente pequeño$\Delta t$. Simplemente activamos y desactivamos la interacción rápidamente.

Considere un conjunto de sistemas, todos en estado inicial$\psi$, y un conjunto de instrumentos, cada uno de los cuales hará una observación en un sistema correspondiente a través del hamiltoniano$H$, a tiempo$\Delta t$. Introducir observable$E$sobre el instrumento espacio de Hilbert correspondiente a "la lectura del instrumento". Determinar la dispersión de$E$,$\Delta E$. Entonces$\Delta E \Delta t \ge \hbar$.

Esto pretende ser una segunda versión posible de la primera declaración. Tal vez esté más en el espíritu de esa declaración, porque ahora determinamos la dispersión de las "lecturas de energía de los instrumentos" y no de la energía del sistema. Pero esta afirmación también es falsa en la mecánica cuántica.

Una medida de la energía de un sistema, hecha en el tiempo.$\Delta t$, perturbará la energía de ese sistema en al menos una cantidad$\Delta E$, dónde$\Delta E \Delta t \ge \hbar$.

No sé qué significa este sistema, porque no sé qué experimento se contempla. Nuevamente, la parte sobre "...perturbar la energía de ese sistema..." sugiere que los sistemas en la mecánica cuántica "tienen una energía verdadera". Pero incluso si lo hicieran, no está claro cómo se supone que adquirimos el conocimiento de cuánto se perturbó esa energía.

Sobre un conjunto de sistemas, todos en estado inicial$\psi$, hágase una observación vía el hamiltoniano de cada sistema, en el tiempo$\Delta t$. Posterior a esto, hágase sobre este conjunto una determinación de la dispersión en el hamiltoniano,$\Delta H$.$($Ver antes.$)$Entonces$\Delta H \Delta t \ge \hbar$.

Esto pretende ser una versión aclarada de la declaración anterior. Ahora, hacemos una observación de energía en cada sistema en el conjunto, y luego, para el conjunto tomado como un todo, determinamos su dispersión hamiltoniana. La idea es que esta "dispersión hamiltoniana posterior" será al menos tan grande, en virtud de la observación anterior, a través del hamiltoniano, en el tiempo$\Delta t$. Pero esta última afirmación es falsa. Por ejemplo, suponga que el estado inicial$\psi$eran un estado propio hamiltoniano. Entonces, el resultado de la primera observación dejaría a cada sistema en ese estado propio; de donde la determinación de$\Delta H$arrojaría cero. Claramente, entonces, en este caso violaríamos la afirmación anterior.

---

No sé si hay declaraciones que sean a la vez significativas y verdaderas, en el sentido anterior. Pero parece haber al menos una afirmación que parece reflejar la "incertidumbre energía-tiempo", es decir, el Teorema 2.

Otro artículo que es relevante es uno de Sorkin$($Fundamentos de Phys, 9, 123$($1979$)$$)$. Si bien es cierto que se puede transformar en el tiempo Fourier la función de onda y, por lo tanto, derivar una "relación de incertidumbre" entre$\Delta t$y$\Delta \omega$ $($frecuencia$)$, no está claro qué significa eso físicamente. Podría ver a alguien citando el viejo argumento de Einstein-Bohr, y en particular el ejemplo de la caja que cuelga de un resorte, emitiendo un fotón bajo el control de un obturador, pero nunca entendí realmente de qué se trataba ese debate.

Ok, entonces el "Principio de Incertidumbre" de Energía-Tiempo a menudo se tergiversa, pero significa algo .

En$\Delta t \Delta E \geq \frac{\hbar}{2}$el$\Delta t$representa la cantidad de tiempo que tarda el valor esperado de energía en cambiar en una desviación estándar. No representa una medida.

Nota: Esto se explica en el texto "Mecánica cuántica" de Griffith. También miré mis notas para este tema en particular y puedo editar la derivación más adelante. Simplemente se deriva del principio de incertidumbre genérico.

El tiempo no es un operador, este tipo de relación de incertidumbre difiere de la forma habitual, en la que participan operadores. (Sin embargo, existen intentos de definir el tiempo como un operador en los problemas de llegada del tiempo). Y sin embargo, en física nuclear conocemos bien los núcleos inestables (radiactivos). Los núcleos inestables son los llamados estados resonantes, y la energía de tales estados no está bien definida, tiene un ancho$\Gamma$. A medida que estos estados decaen, también tienen la llamada vida media . De hecho, estas dos cantidades obedecen al principio de incertidumbre sobre el tiempo y la energía,$\Gamma \cdot \tau_{1/2}$es del orden de$\hbar$. no es exactamente$\hbar/2$a menos que ajustemos$\tau_{1/2}$por alguna constante multiplicativa para obtener una adecuada$\Delta t$para obtener$\hbar/2$.

Ahora,$\Delta E$no representa variación en el tiempo de la energía, cuando la energía es indefinida, eso no significa que varíe en el tiempo, sino que el sistema no está en un estado propio del hamiltoniano.