Principio de incertidumbre de Heisenberg y energía de punto cero

Question

Principio de incertidumbre de Heisenberg y energía de punto cero

energía
Física
mecánica cuántica
Principio de incertidumbre de Heisenberg

Landó

En mi libro está escrito: para una partícula en un pozo cuadrado infinito (supuestamente 1D y grande $a$ )

\begin{aligned} Δ X \sim a \to & Principio de incertidumbre de Heisenberg \\ \to & Δ {pag}_{min} \sim \frac{h}{2 π a} \\ (mi = \frac{{pag}^{2}}{2 metro}) \to & {mi}_{min} \sim \frac{h^{2}}{8 π^{2} a^{2} metro} . \end{aligned}

$\begin{align} \Delta x\sim a \to& \text{Heisenberg uncertainty principle} \\ \to& \Delta p _\text{min}\sim\frac{h}{2\pi a} \\ \left( E=\frac{p^2}{2m} \right) \to& E_\text{min}\sim\frac{h^2}{8\pi^2a^2m}\,. \end{align}$ Sin embargo, no estoy seguro de que el último pasaje sea legal: ¿cómo es posible considerar

Δ p_{min}

$\Delta p _\text{min}$ y

p

$p$ ¿la misma cosa? El primero es la desviación estándar de la variable aleatoria

P

$P$ , mientras que el segundo es el valor físico del momento, por lo que me gustaría entender si hay otra forma de determinar la energía de punto cero de un sistema solo usando el principio de incertidumbre de Heisenberg.

AccidentalFourierTransformar

Posible duplicado del principio de incertidumbre de Heisenberg -

Δ p

$\Delta p$

ana v

Δp es el incremento medible más pequeño de p. El valor matemático más bajo de p es cero, porque p es p=0, por lo tanto p+Δp =Δp. En notación física, se usa el delta para diferenciar entre "un intervalo" y "una desviación estándar". para la desviación estándar usamos dp

jahan claes

@annav No creo que eso sea cierto. Formalmente, el

Δ p

$\Delta p$ en la relación de Heisenberg es exactamente la desviación estándar. Cuando deriva la incertidumbre de Heisenberg, lo que aparece son las desviaciones estándar de

x

$x$ y

p

$p$ , no sus "incrementos medibles más pequeños".

ana v

@JahanClaes, lamento que esté equivocado, a menos que tenga una definición ampliada de desviación estándar. Si fuera la desviación estándar, implicaría que todos los fenómenos cuánticos fueron aleatorios siguiendo el poisson o el gaussiano. La distribución de probabilidad de los fenómenos cuánticos son cuadrados de soluciones de problemas de valores límite para las ecuaciones diferenciales QM, no gaussianas. Por lo tanto, en física usamos esta notación para separar las gaussianas de las distribuciones QM. En efecto, el incremento medible más pequeño da una idea de la función de distribución QM.

jahan claes

@annav Lo siento, pero estoy en lo correcto. Véase, por ejemplo, el capítulo 9 de Shankar. Demuestra que para cualquier estado

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ , puedes definir

Δ p = ⟨ ψ | p^{2} | ψ ⟩ - ⟨ ψ | p | ψ ⟩^{2}

$\Delta p=\langle \psi| p^2|\psi\rangle-\langle \psi|p|\psi\rangle^2$ y

Δ x

$\Delta x$ de manera similar, y que luego puedas probar

Δ p Δ x \geq ℏ / 2

$\Delta p\Delta x\geq \hbar/2$ . Es posible definir una desviación estándar en QM, como acabo de mostrar, y resulta que es útil. Nada sobre el uso de una desviación estándar implica que una distribución sea necesariamente gaussiana; toda distribución de probabilidad tiene una desviación estándar.

jahan claes

@annav Ni siquiera estoy seguro de cómo podría definir rigurosamente un "incremento medible más pequeño". Pero la relación de Heisenberg es una fórmula matemática precisa, no una regla empírica, por lo que necesita definiciones matemáticas precisas de

Δ x

$\Delta x$ y

Δ p

$\Delta p$ . Tal vez haya alguna otra definición de

Δ p

$\Delta p$ eso también da la relación de Heisenberg, pero no la he visto. En todos los tratamientos estándar, he visto

Δ p

$\Delta p$ definida como la desviación estándar de

p

$p$ .

jahan claes

@annav Consulte también la página de Wikipedia que formula la relación en términos de las desviaciones estándar de

x

$x$ y

p

$p$ . Además, cometí un error tipográfico en mi comentario anterior, pero ya no puedo editar ese comentario:

Δ p = \sqrt{⟨ ψ | p^{2} | ψ ⟩ - ⟨ ψ | p | ψ ⟩^{2}}

$\Delta p = \sqrt{\langle\psi|p^2|\psi\rangle-\langle\psi|p|\psi\rangle^2}$

ana v

@JahanClaes Soy un experimentador, y la desviación estándar que dimos para las mediciones fue el sd del poisson o el gaussiano, en su definición. Cuando hablamos de mediciones mecánicas cuánticas, usamos el símbolo Δ para contrastar con el uso cotidiano de la desviación estándar en las mediciones. Por supuesto, puede definir como arriba lo que es consistente con lo que digo, excepto por mediciones aleatorias (gaussianas), tendríamos un dp.

jahan claes

@annav Pero la desviación estándar es una fórmula general que se aplica a todas las distribuciones de probabilidad, no solo a las distribuciones gaussianas o de Poisson. y cuando digo

Δ p

$\Delta p$ , me refiero precisamente a la desviación estándar de un conjunto de mediciones de momento en sistemas preparados de manera idéntica. Es como cualquier otra desviación estándar de cualquier otro conjunto de medidas. si mides

p

$p$ en un montón de sistemas idénticos, obtendrá algo de difusión en

p

$p$ . Ese diferencial tiene una desviación estándar,

Δ p

$\Delta p$ , que es lo que aparece en la relación de Heisenberg.

jahan claes

@annav Aquí no se está redefiniendo la desviación estándar. Solo estoy usando la definición normal, aburrida y cotidiana de desviación estándar, que es exactamente a lo que se refiere la incertidumbre de Heisenberg.

Respuestas (2)

Principio de incertidumbre de Heisenberg y energía de punto cero

Posible duplicado del principio de incertidumbre de Heisenberg - $\Delta p$
Δp es el incremento medible más pequeño de p. El valor matemático más bajo de p es cero, porque p es p=0, por lo tanto p+Δp =Δp. En notación física, se usa el delta para diferenciar entre "un intervalo" y "una desviación estándar". para la desviación estándar usamos dp
@annav No creo que eso sea cierto. Formalmente, el $\Delta p$ en la relación de Heisenberg es exactamente la desviación estándar. Cuando deriva la incertidumbre de Heisenberg, lo que aparece son las desviaciones estándar de $x$ y $p$ , no sus "incrementos medibles más pequeños".
@JahanClaes, lamento que esté equivocado, a menos que tenga una definición ampliada de desviación estándar. Si fuera la desviación estándar, implicaría que todos los fenómenos cuánticos fueron aleatorios siguiendo el poisson o el gaussiano. La distribución de probabilidad de los fenómenos cuánticos son cuadrados de soluciones de problemas de valores límite para las ecuaciones diferenciales QM, no gaussianas. Por lo tanto, en física usamos esta notación para separar las gaussianas de las distribuciones QM. En efecto, el incremento medible más pequeño da una idea de la función de distribución QM.
@annav Lo siento, pero estoy en lo correcto. Véase, por ejemplo, el capítulo 9 de Shankar. Demuestra que para cualquier estado $|\psi\rangle$ , puedes definir $\Delta p=\langle \psi| p^2|\psi\rangle-\langle \psi|p|\psi\rangle^2$ y $\Delta x$ de manera similar, y que luego puedas probar $\Delta p\Delta x\geq \hbar/2$ . Es posible definir una desviación estándar en QM, como acabo de mostrar, y resulta que es útil. Nada sobre el uso de una desviación estándar implica que una distribución sea necesariamente gaussiana; toda distribución de probabilidad tiene una desviación estándar.
@annav Ni siquiera estoy seguro de cómo podría definir rigurosamente un "incremento medible más pequeño". Pero la relación de Heisenberg es una fórmula matemática precisa, no una regla empírica, por lo que necesita definiciones matemáticas precisas de $\Delta x$ y $\Delta p$ . Tal vez haya alguna otra definición de $\Delta p$ eso también da la relación de Heisenberg, pero no la he visto. En todos los tratamientos estándar, he visto $\Delta p$ definida como la desviación estándar de $p$ .
@annav Consulte también la página de Wikipedia que formula la relación en términos de las desviaciones estándar de $x$ y $p$ . Además, cometí un error tipográfico en mi comentario anterior, pero ya no puedo editar ese comentario: $\Delta p = \sqrt{\langle\psi|p^2|\psi\rangle-\langle\psi|p|\psi\rangle^2}$
@JahanClaes Soy un experimentador, y la desviación estándar que dimos para las mediciones fue el sd del poisson o el gaussiano, en su definición. Cuando hablamos de mediciones mecánicas cuánticas, usamos el símbolo Δ para contrastar con el uso cotidiano de la desviación estándar en las mediciones. Por supuesto, puede definir como arriba lo que es consistente con lo que digo, excepto por mediciones aleatorias (gaussianas), tendríamos un dp.
@annav Pero la desviación estándar es una fórmula general que se aplica a todas las distribuciones de probabilidad, no solo a las distribuciones gaussianas o de Poisson. y cuando digo $\Delta p$ , me refiero precisamente a la desviación estándar de un conjunto de mediciones de momento en sistemas preparados de manera idéntica. Es como cualquier otra desviación estándar de cualquier otro conjunto de medidas. si mides $p$ en un montón de sistemas idénticos, obtendrá algo de difusión en $p$ . Ese diferencial tiene una desviación estándar, $\Delta p$ , que es lo que aparece en la relación de Heisenberg.
@annav Aquí no se está redefiniendo la desviación estándar. Solo estoy usando la definición normal, aburrida y cotidiana de desviación estándar, que es exactamente a lo que se refiere la incertidumbre de Heisenberg.

jahan claes · Answer 1

Una forma de pensar en esto es en términos de valores esperados. Cuando tu dices $\Delta p$ , lo que realmente quiere decir es la desviación estándar de $p$ .

Δ pag = \sqrt{⟨ {pag}^{2} ⟩ - ⟨ pag ⟩^{2}}

$\Delta p = \sqrt{\langle p^2\rangle-\langle p \rangle^2}$ En el caso del estado fundamental, se espera

⟨ p ⟩ = 0

$\langle p \rangle=0$ por simetría, entonces solo tienes

Δ p = \sqrt{⟨ p^{2} ⟩}

$\Delta p = \sqrt{\langle p^2\rangle}$ . Entonces puedes considerar el valor esperado de la energía,

⟨ mi ⟩ = ⟨ \frac{{pag}^{2}}{2 metro} ⟩ = \frac{⟨ {pag}^{2} ⟩}{2 metro} = \frac{(Δ pag)^{2}}{2 metro}

$\langle E\rangle = \langle \frac{p^2}{2m}\rangle=\frac{\langle p^2\rangle}{2m}=\frac{(\Delta p)^2}{2m}$

Hasta ahora, todo lo que hemos escrito ha sido exacto. Pero queremos encontrar el valor mínimo posible para la energía. Un pensamiento momentáneo debería decirle que el mínimo de $\langle E\rangle$ y el mínimo de la energía coinciden. Entonces tratas de encontrar el más pequeño posible. $\langle E\rangle$ , y llámalo así $E_{\min}$ . Eso significa que quieres encontrar el más pequeño posible. $\Delta p$ . pero por supuesto que sabes $\Delta x \lesssim a$ , por lo que el más pequeño $\Delta p$ es $\tilde{}\frac{h}{2\pi a}$ . Enchufar eso te da $E_\min$ .

La clave es darse cuenta de que si $\langle p\rangle=0$ , entonces el valor esperado de $p^2$ es exactamente $(\Delta p)^2$ . Por supuesto, todo lo que sigue son solo aproximaciones, ¡pero a veces funcionan bastante bien!

@Landau Hay algunas formas diferentes de justificar eso. Uno es simplemente por simetría. Dado que el pozo cuadrado es simétrico, el estado fundamental debe tener $\langle p\rangle=0$ , ya que cualquier otro valor de $p$ violaría la simetría. Después de todo, si $\langle p\rangle$ es positivo en el estado fundamental, eso significa que hay algo especial en la dirección positiva, lo cual no es cierto: el cuadrado se ve igual en las direcciones positiva y negativa.
@Landau Otra forma de decirlo es que sabes que la partícula en el estado fundamental no va a ninguna parte: el valor esperado de $\langle x \rangle$ no está cambiando, de lo contrario no estaríamos en el estado fundamental. Hay una manera formal de relacionarse $\langle p\rangle$ y $\langle x \rangle$ , y da exactamente lo que esperarías: $d\langle x\rangle/dt = \langle p\rangle/m$ . Así que si quieres asegurarte $\langle x \rangle$ no cambia, necesitas tener $\langle p \rangle=0$ .
@Landau De hecho, es una afirmación generalmente cierta que cualquier estado propio localizado tiene $\langle p \rangle =0$ .

Javier · Answer 2

No es una derivación rigurosa, es una estimación que da el resultado correcto. La idea básica es que la mínima incertidumbre posible en la cantidad de movimiento va a ser del mismo orden que el valor mínimo posible de la cantidad de movimiento. Esto no siempre es cierto, pero a menudo es bastante cierto.

De hecho, tenga en cuenta que el libro convenientemente utilizado $\Delta x \Delta p \sim \hbar$ en lugar de $\Delta x \Delta p \sim \hbar/2$ para obtener el resultado correcto.

En cuanto a derivar la energía usando solo el principio de incertidumbre, no creo que sea posible. El HUP es solo una desigualdad, las incertidumbres reales podrían ser mayores que sus valores mínimos permitidos. Sin mencionar que la incertidumbre en algún observable no es necesariamente la misma que su valor.

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