¿Existe una notación universal o general de "constructor de matrices"?

Question

¿Existe una notación universal o general de "constructor de matrices"?

gen-ℤ listo para perecer

Si se quiere construir una serie de forma compacta, se escribe

\sum_{i = 1}^{w} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{w}

$\sum_{i=1}^w a_i=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_w$

Si se quiere construir un conjunto de forma compacta, se escribe

⋃_{j = 1}^{X} B_{j} = B_{1} \cup B_{2} \cup B_{3} \cup \dots \cup B_{X}

$\bigcup_{j=1}^x B_j = B_1\cup B_2\cup B_3\cup\cdots\cup B_x$

Un beneficio de estas notaciones es que no requieren una explicación adicional, excepto por sus argumentos, que en realidad se pueden definir después del "gran símbolo" en sí.

Si uno quiere construir una matriz de forma compacta , ¿qué "gran operador" podría usar para anotar o sustituir

C (y, z) = (\begin{matrix} C (1, 1) & C (1, 2) & C (1, 3) & \dots & C (1, z) \\ C (2, 1) & C (2, 2) & C (2, 3) & \dots & C (2, z) \\ C (3, 1) & C (3, 2) & C (3, 3) & \dots & C (3, z) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C (y, 1) & C (y, 2) & C (y, 3) & \dots & C (y, z) \end{matrix})

$\boldsymbol{C}(y,z) = \begin{pmatrix} c(1,1) & c(1,2) & c(1,3) & \cdots & c(1,z) \\ c(2,1) & c(2,2) & c(2,3) & \cdots & c(2,z) \\ c(3,1) & c(3,2) & c(3,3) & \cdots & c(3,z) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c(y,1) & c(y,2) & c(y,3) & \cdots & c(y,z) \\ \end{pmatrix}$

Supongo que uno podría hacer algo extraño como definir

{METRO}_{(k, ℓ) = (1, 1)}^{(y, z)} C (k, ℓ)

$\mathop{\LARGE\mathrm{M}}_{(k,\ell)=(1,1)}^{(y,z)}c(k,\ell)$

pero me gustaría algo más universal, tal vez involucrando $\prod$ , $\sum$ , y $\boldsymbol{I}_{y\times x}$ (el $y\times z$ matriz de identidad).

usuario856

Creo que normalmente uno solo dice "Considere la matriz

C

$C$ con entradas

c_{i j} = \dots

$c_{ij} = \dots$ ", aunque a veces he visto

[c_{i j}]_{m \times n}

$[c_{ij}]_{m\times n}$ .

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Es interesante. ¿Hasta qué punto diría usted que es universalmente aplicable?

Respuestas (1)

¿Existe una notación universal o general de "constructor de matrices"?

Creo que normalmente uno solo dice "Considere la matriz $C$ con entradas $c_{ij} = \dots$ ", aunque a veces he visto $[c_{ij}]_{m\times n}$ .
Es interesante. ¿Hasta qué punto diría usted que es universalmente aplicable?

kyle molinero · Answer 1

He visto la notación $(c(k,\ell))_{k\ell}$ o tal vez una variante como $(c(k,\ell))_{k=1,\ell=1}^{y,z}$ o $(c(k,\ell))_{k=1\ldots y,\ell=1\ldots z}$ . Con el primero, generalmente se especifican las dimensiones en el texto circundante.

La notación es una especie de tensor "anónimo", donde la contracción termina siendo sustitución.

¿Podría explicar qué quiere decir con "tensor 'anónimo'"? Suena fascinante...
@ChaseRyanTaylor Anónimo solo en el sentido de "sin nombre". Por ejemplo, con respecto a una base $v^1,\dots,v^n$ , se puede escribir un vector $\sum_i(i^2)_iv^i=v^1+4v^2+9v^3+\dots+n^2v^n$ , dónde $(i^2)_i$ es el tensor anónimo. también podría haber escrito $\sum_ic_iv^i$ dónde $c_i=i^2$ , dando al objeto el nombre $c$ . Es similar a funciones anónimas como $x\mapsto x^2$ , donde dice $(x\mapsto x^2)(3)=3^2$ . Acabo de dar un ejemplo de 1 tensor, pero puede tener cualquier número de índices, cada uno de ellos superior o inferior.

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