Función de onda "de valor único" frente a "hasta una fase" (transformación de calibre) Existencia de sección global en paquete de línea completo

Question

Función de onda "de valor único" frente a "hasta una fase" (transformación de calibre) Existencia de sección global en paquete de línea completo

Anónimo

Siempre me encuentro con los siguientes dichos: en un caso, la gente dice que la función de onda debe tener un solo valor, en otro caso, la gente dice que la función de onda podría estar hasta una fase en el mismo punto si hay una transformación de calibre. Estoy tan desconcertado acerca de estos dos dichos. Voy a enumerar algunos casos en los que me encuentro con estos dichos.

Primero, considere una partícula libre en un círculo $S^1$ con radio $r$ . El hamitoniano es

H = \frac{1}{2 metro r^{2}} (- i ℏ \frac{\partial}{\partial ϕ})^{2}

$H=\frac{1}{2mr^2}(-i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi})^2$ Entonces la función propia es

ψ = \frac{1}{\sqrt{2 π r}} {mi}^{i norte ϕ}

$\psi= \frac{1}{\sqrt{2\pi r}}e^{i n \phi}$ Debido a que la función de onda debe tener un solo valor en

S^{1}

$S^1$ ,

n

$n$ debe pertenecer a números enteros, es decir

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$ .

Segundo caso, considere una partícula en un círculo $S^1$ con radio $r$ y poner el fundente $\Phi$ en el centro del círculo. Entonces el hamitoniano es

H = \frac{1}{2 metro r^{2}} (- i ℏ \frac{\partial}{\partial ϕ} + \frac{mi Φ}{2 π})^{2}

$H=\frac{1}{2mr^2}(-i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi}+\frac{e\Phi}{2\pi})^2$

La función propia sigue siendo

ψ = \frac{1}{\sqrt{2 π r}} {mi}^{i norte ϕ}

$\psi= \frac{1}{\sqrt{2\pi r}}e^{i n \phi}$ También porque la función de onda debe tener un solo valor en

S^{1}

$S^1$ ,

n

$n$ debe pertenecer a números enteros, es decir

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$ . La única diferencia es que habrá algún cambio de valor propio.

Tercer caso, considere una partícula en un toro $T^2$ , con dos longitudes $L_x$ y $L_y$ . Y ponemos un campo magnético uniforme $B$ a través de la superficie del toro. Si elegimos el ancho de Landau $A_x = 0$ , $A_y= B x$ . El hamitoniano es ahora

H = \frac{1}{2 metro} ({pag}_{X}^{2} + ({pag}_{y} + mi B X)^{2})

$H=\frac{1}{2m}(p_x^2 +(p_y+eBx)^2)$

Sabemos que en este caso la simetría de Hamitonian se llama grupo de traslación magnética .

T (d) = {mi}^{- i d \cdot (i \nabla + mi A / ℏ)}

$T(\mathbf{d})= e^{-i \mathbf{d}\cdot(i\nabla+e \mathbf{A}/\hbar)}$ es decir

[T (d), H] = 0

$[T(\mathbf{d}),H]=0$ Entonces la función propia

ψ (x, y)

$\psi(x,y)$ debe ser invariante bajo

T (d)

$T(\mathbf{d})$ .

T_{X} ψ (X, y) = ψ (X + L_{X}, y) = ψ (X, y)

$T_x \psi(x,y)=\psi(x+L_x,y)=\psi(x,y)$

T_{y} ψ (X, y) = {mi}^{- i mi B L_{y} X / ℏ} ψ (X, y + L_{y}) = ψ (X, y)

$T_y \psi(x,y)=e^{-ieBL_yx/\hbar}\psi(x,y+L_y)=\psi(x,y)$ con

T_{x} = T ((L_{x}, 0))

$T_x =T((L_x,0))$ y

T_{y} = T ((0, L_{y}))

$T_y=T((0,L_y))$ . Entonces vemos que la función de onda no tiene un solo valor en este caso, es decir,

ψ (x, y + L_{y}) \neq ψ (x, y)

$\psi(x,y+L_y)\ne \psi(x,y)$ .

Mi pregunta es: ¿En qué caso admitimos que la función de onda no tiene un solo valor? Vemos todos los casos con espacio físico conectado de forma múltiple. Tanto el segundo como el tercer caso son el sistema con campo electromagnético / campo de calibre, ¿por qué el primero, el segundo todavía tienen un valor único pero el tercero no? Parece que la existencia de una topología no trivial del espacio físico o del campo magnético/campo de calibre no es la respuesta.

PD: Gracias a @David Bar Moshe, nunca me di cuenta de que esta pregunta puede estar relacionada con la sección global de paquetes de líneas complejas.

qmecanico

¿Cuáles personas?...

usuario153663

@Qmechanic Muchos libros de texto de QM dirán que la función de onda tiene un solo valor.

ZeroTheHero

Su notación no es ideal ya que tiene

ϕ

$\phi$ para la función propia y también

ϕ

$\phi$ por un ángulo. ¿Podría editar para facilitar la referencia?

usuario154997

no creo

A_{x} = 0

$A_x=0$ ,

A_{y} = B x

$A_y=Bx$ se mantiene en todo el toro, para empezar.

jahan claes

Creo que la única razón por la que la función de onda no tiene un solo valor es que

\vec{A}

$\vec{A}$ no tiene un solo valor en el toro.

fisioterapia

La función de onda como cualquier función debe tener solo un valor para cada entrada. ya que su sistema es periódico

ψ (x)

$\psi(x)$ y

ψ (x + L)

$\psi(x+L)$ debe ser igual porque

x

$x$ y

x + L

$x+L$ es exactamente el mismo punto en ese sistema.

usuario153663

@physshyp Entonces, ¿cómo explicar mi tercer caso? Es absolutamente no de un solo valor.

usuario154997

Creo que hay una condición de cuantificación en

L_{1}

$L_1$ y

L_{2}

$L_2$ Realmente. Este tipo de temas se suelen tratar con un formalismo geométrico pesado pero encontré una referencia manteniéndolo pedestre: E. Onofri. Niveles de Landau en un toro. International Journal of Theoretical Physics, 40(2):537–549, febrero de 2001. A menos que haya entendido mal su tercer caso, este artículo aborda exactamente eso.

Respuestas (1)

Función de onda "de valor único" frente a "hasta una fase" (transformación de calibre) Existencia de sección global en paquete de línea completo

@Qmechanic Muchos libros de texto de QM dirán que la función de onda tiene un solo valor.
Su notación no es ideal ya que tiene $\phi$ para la función propia y también $\phi$ por un ángulo. ¿Podría editar para facilitar la referencia?
no creo $A_x=0$ , $A_y=Bx$ se mantiene en todo el toro, para empezar.
Creo que la única razón por la que la función de onda no tiene un solo valor es que $\vec{A}$ no tiene un solo valor en el toro.
La función de onda como cualquier función debe tener solo un valor para cada entrada. ya que su sistema es periódico $\psi(x)$ y $\psi(x+L)$ debe ser igual porque $x$ y $x+L$ es exactamente el mismo punto en ese sistema.
@physshyp Entonces, ¿cómo explicar mi tercer caso? Es absolutamente no de un solo valor.
Creo que hay una condición de cuantificación en $L_1$ y $L_2$ Realmente. Este tipo de temas se suelen tratar con un formalismo geométrico pesado pero encontré una referencia manteniéndolo pedestre: E. Onofri. Niveles de Landau en un toro. International Journal of Theoretical Physics, 40(2):537–549, febrero de 2001. A menos que haya entendido mal su tercer caso, este artículo aborda exactamente eso.

David Bar Moshé · Answer 1

En mecánica cuántica, la normalización de la función de onda no es importante ya que calculamos las expectativas de acuerdo con:

⟨ O ⟩ = \frac{ψ^{†} O ψ}{ψ^{†} ψ}

$\langle O \rangle = \frac{\psi^{\dagger} O \psi}{\psi^{\dagger} \psi}$ Esta es la razón por la que las funciones de onda se identifican con secciones de haces de líneas complejos. Consulte esta introducción para físicos de Orlando Alvarez.

Cuando un paquete de líneas es trivial, su espacio de secciones se puede formar a partir de funciones verdaderas, que deben tener un solo valor.

La clase de equivalencia de paquetes de líneas sobre una variedad $M$ se llama el grupo de Picard $\mathrm{Pic}(M)$ . Cada elemento (además de la unidad) de este grupo da lugar a una cuantificación no equivalente en la que el factor de fase no puede eliminarse mediante una transformación de calibre.

Consulte a Prieto y Vitolo para obtener una breve explicación.

En variedades diferenciables, el grupo de Picard es isomorfo al segundo grupo de cohomología sobre los números enteros

PAG i C (METRO) ≅ H^{2} (METRO, Z)

$\mathrm{Pic}(M) \cong H^2(M, \mathbb{Z})$

Es por eso que rara vez se menciona en los textos de mecánica cuántica que más bien refieren el elemento correspondiente de $H^2(M, \mathbb{Z})$ representando a la primera clase de Chern.

Cabe destacar:

(1) que incluso cuando el grupo de Picard es trivial o la cuantización corresponde a un elemento trivial, podemos tener funciones de onda de múltiples valores, pero el valor múltiple puede eliminarse mediante una transformación de calibre.

(2) La primera clase de Chern no es un clasificador suficiente de cuantificaciones no equivalentes. No detecta efectos como el efecto Aharonov-Bohm. Estos son detectados por un elemento del grupo. $\mathrm{Hom}(\pi_1(M), U(1))$ , véase, por ejemplo, Doebner y Tolar .

(3) La variedad relevante $M$ es el espacio de fase. Dado que el ejemplo dado son partículas puntuales, cuyo espacio de fase es el paquete cotangente de un espacio de configuración, la topología no trivial se encuentra en el espacio de configuración y podemos hablar de paquetes de línea sobre el espacio de configuración.

Volviendo a tus ejemplos: los dos primeros describen el movimiento en el círculo $S^1$ . Por razonamiento dimensional $H^2(S^1, \mathbb{Z})=0$ , por lo tanto, las funciones de onda se pueden elegir para que sean funciones verdaderas. El segundo ejemplo se refiere al caso descrito en el segundo comentario anterior ya que $\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$

En el tercer ejemplo $H^2(T^2, \mathbb{Z})= \mathbb{Z}$ , generado por múltiplos enteros del elemento de área básico, por lo tanto, para un campo magnético que no desaparece, las funciones de onda no pueden tomarse como funciones verdaderas.

Gracias. Nunca antes imaginé que esta pregunta estaría relacionada con la clase característica del haz de fibras.

Función de onda "de valor único" frente a "hasta una fase" (transformación de calibre) Existencia de sección global en paquete de línea completo

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ZeroTheHero

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jahan claes

fisioterapia

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David Bar Moshé

usuario153663

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