¿Existe una desigualdad para la traza de la inversa de una matriz semidefinida positiva? [cerrado]

Question

rafael

Dejar $A$ frijol $n \times n$ matriz definida positiva. ¿Existe una desigualdad para $\text{tr}[A^{-1}]$ En relación a $A$ o $\text{tr}[A]$ ?

Te refieres a definido positivo, por supuesto.

@TedShifrin Sí :)

JimmyK4542 · Answer 1

Por AM-HM, los valores propios $\lambda_1, \ldots,\lambda_n \ge 0$ de $A$ satisfacer

\frac{norte}{\frac{1}{λ_{1}} + \dots + \frac{1}{λ_{norte}}} \leq \frac{λ_{1} + \dots + λ_{norte}}{norte},

$\dfrac{n}{\tfrac{1}{\lambda_1}+\cdots+\tfrac{1}{\lambda_n}} \le \dfrac{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}{n},$ que se puede reescribir como

\frac{norte}{tr [A^{- 1}]} \leq \frac{tr [A]}{norte} .

$\dfrac{n}{\text{tr}[A^{-1}]} \le \dfrac{\text{tr}[A]}{n}.$ ¿Es este el tipo de resultado que está buscando?

¡Sí! Tengo curiosidad por saber si también hay otras desigualdades, pero este es de hecho el tipo de resultado que estaba buscando.