¿La magnitud de una componente de un vector es siempre menor que su norma?

Dejar X ∈ R norte y ‖ ⋅ ‖ una norma definida en R norte . ¿Es cierto que | X i | ≤ ‖ X ‖ , ∀ i ∈ { 1 , 2 , … , norte } ? Sé que esto se demostró fácilmente para ‖ ⋅ ‖ 2 o ‖ ⋅ ‖ ∞ , y que el enunciado puede ser verdadero usando el hecho de que las normas son equivalentes en R norte pero no he podido mostrar cómo.

La pregunta como se ha dicho es bastante fácil ya que para cada biyección lineal T : R d → R d , la función X ↦ ‖ T ( X ) ‖ 2 define una norma. Entonces, puedes elegir T para hacer los componentes de X pequeño, por lo que estaría comparando la norma de un vector pequeño frente a un componente. Sin embargo, lo que puede ser interesante es ver si | X i | ‖ mi i ‖ ≤ ‖ X ‖ para cualquier vector X . Sospecho que esto tampoco es cierto (y tal vez alguien proporcione un constructor de contraejemplos como lo hice para su pregunta).

Respuestas (2)

En general, es falso. si defines

‖ ( X 1 , … , X norte ) ‖ = 1 2 X 1 2 + X 2 2 + ⋯ + X norte 2 ,
entonces ‖ ( 1 , 0 , 0 , … , 0 ) ‖ = 1 2 , pero 1 > 1 2 .

Buen ejemplo, esto plantea la pregunta de qué pasa con la definición de la magnitud de un componente como ||(x_1,0,0..,0)||

Dada cualquier norma ‖ ⋅ ‖ y cualquier C > 0 , la función ‖ ⋅ ‖ ′ definido por ‖ X ‖ ′ = C ‖ X ‖ es otra norma. Entonces, para cualquier vector distinto de cero X ∈ R norte , puede elegir una norma para hacer ‖ X ‖ cualquier número real positivo: simplemente comience con alguna norma arbitraria y luego escálela para hacer ‖ X ‖ tenga el valor que desee. En particular, si X i ≠ 0 , puede elegir una norma tal que ‖ X ‖ será más pequeño que | X i | .

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