¿Existe un límite superior en la traza de la matriz definida positiva en función de la traza de la inversa de la matriz?

La relación entre la huella de$A$y la huella de$A^{-1}$debe depender de parámetros adicionales distintos de$n$. Considere el ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \delta \end{bmatrix},$$ dónde$\delta > 0$es pequeño. observamos que$\mathrm{tr}(A) = 1 + \delta$,$\mathrm{tr}(A^{-1}) = 1 + 1/\delta$, entonces$\mathrm{tr}(A)$es casi constante para pequeños$\delta$mientras$\mathrm{tr}(A^{-1})$explota.

El ingrediente faltante necesario es el número de condición . En términos generales, la relación entre$A$y$A^{-1}$a menudo se puede caracterizar por el valor del número de condición$\kappa$. para un general$n \times n$matriz$A$, el número de condición está definido por

$$\kappa(A) = \frac{\sigma_{max}(A)}{\sigma_{min}(A)},$$ dónde$\sigma_{max}$y$\sigma_{min}$son los valores singulares mayor y menor. Si$A$es invertible entonces esto es igual a$\|A\| \|A^{-1}\|$. Para una matriz SPD, esto es equivalente a$\lambda_{max}(A)/\lambda_{min}(A)$.

Suponer$\kappa$es largo. Luego, reescalando$A$tener$\sigma_{max} = 1$, esto significa que$A$tiene una norma pequeña pero$A^{-1}$tiene una gran norma. Esto significa que$A$tiene un pequeño rastro, sin embargo$A^{-1}$tiene un rastro grande. Por el contrario, si$\kappa$esta cerca de$1$, entonces$A$y$A^{-1}$tiene normas similares, y sus huellas también son similares.

Volviendo a nuestro ejemplo original,$\kappa(A) = 1/\delta$. Debido a que el número de condición de esta matriz es grande, entonces la traza de$A$esta cerca de$1$mientras que el rastro de$A^{-1}$es muy grande.

Ahora podemos abordar su pregunta. Tenemos

$$\begin{align} \mathrm{tr}(A) & = \lambda_1 + \lambda_2 + \ldots + \lambda_n \\ \mathrm{tr}(A^{-1}) & = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2} + \ldots + \frac{1}{\lambda_n}. \end{align}$$

Asumiendo$\lambda_1 \geq \ldots \geq \lambda_n > 0$, y utilizando las desigualdades

$$\frac{\lambda_1}{\kappa} \leq \lambda_j \le \lambda_n \kappa,$$ tenemos $$\begin{align} \mathrm{tr}(A) \mathrm{tr}(A^{-1}) & \ge \left( \frac{ n \lambda_1}{\kappa} \right) \left( \frac{n}{\kappa \lambda_n} \right) = \frac{n^2}{\kappa}, \\ \mathrm{tr}(A) \mathrm{tr}(A^{-1}) & \le \left(n \lambda_n \kappa \right) \left( \frac{n \kappa}{ \lambda_1} \right) = n^2 \kappa. \end{align}$$ En resumen tenemos las desigualdades $$\boxed{\frac{n^2}{\kappa} \le \mathrm{tr}(A) \mathrm{tr}(A^{-1}) \le n^2 \kappa}$$ que se puede convertir en límites inferior y superior en la traza de$A$, en términos de la huella de$A^{-1}$, el número de condición$\kappa$, y$n$.

A menos que$n=1$, no existe tal límite superior. Por ejemplo, deja$\epsilon>0$y

$$A=\pmatrix{1+\frac{1}{\epsilon}\\ &1+\epsilon}.$$ Entonces$\operatorname{tr}(A^{-1})=1$pero$\operatorname{tr}(A)\to\infty$como$\epsilon$enfoques$0$o infinito.