Límite superior en la traza del producto de matriz unitaria y arbitraria

Question

Límite superior en la traza del producto de matriz unitaria y arbitraria

usuario7785693

Que el campo sea complejo, $U$ frijol $n\times n$ matriz unitaria, $M$ ser cualquiera $n\times n$ matriz, y $|M|$ denote la matriz formada al tomar el valor absoluto de cada entrada de $M$ .

Pregunta editada: ¿Cuál es el límite superior general en $|trace(UM)|$ ?

Como se preguntó anteriormente, la siguiente declaración es falsa:

Existe una matriz de permutación $\Pi$ , tal que $|trace(UM)|\leq trace(\Pi|M|)$

Contraejemplo: $U=[[1/2,(1+i\sqrt2)/2],[(1-i\sqrt2)/2,-1/2]]$ , $M=[[1.1,0],[1,0]]$

usuario7785693

Existen contraejemplos obvios si

Π

$\Pi$ es siempre

I

$I$ . La desigualdad parece mantenerse para otros valores específicos de unitarios 2x2. Probar para unitarios generales de 2x2 parece volverse desordenado rápidamente.

Respuestas (2)

Límite superior en la traza del producto de matriz unitaria y arbitraria

Existen contraejemplos obvios si $\Pi$ es siempre $I$ . La desigualdad parece mantenerse para otros valores específicos de unitarios 2x2. Probar para unitarios generales de 2x2 parece volverse desordenado rápidamente.

Daniel · Answer 1

Dejar $M=\sum_{i=1}^na_iv_iw_i^t$ sea una descomposición en valores singulares de $M$ , es decir, $a_i\geq 0$ , $\{v_1,\ldots,v_n\}$ y $\{w_1,\ldots,w_n\}$ son bases ortonormales de $\mathbb{C}^n$ .

Si $U$ es una matriz unitaria entonces $\{Uv_1,\ldots,Uv_n\}$ sigue siendo una base ortornormal de $\mathbb{C}^n$ .

De este modo, $|tr(UM)|=|tr(\sum_{i=1}^na_iUv_iw_i^t)|\leq\sum_{i=1}^na_i|tr(Uv_iw_i^t)|\leq \sum_{i=1}^na_i|Uv_i||w_i|\leq \sum_{i=1}^na_i$ .

Dejar $U=\sum_{i=1}^n\overline{w_i}\ \overline{v_i}^t$ . Darse cuenta de $U$ es unitario.

Ahora, $|tr(UM)|=|tr(\sum_{i=1}^na_iUv_iw_i^t)|=|tr(\sum_{i=1}^na_i\overline{w_i}w_i^t)|=\sum_{i=1}^na_i$ .

Por lo tanto, un límite superior agudo para $|tr(UM)|$ es la suma de los valores singulares de $M$ .

¿Cuáles son los valores espectrales de $M$ ? El valor absoluto de cada valor propio de $M$ ?
@ user193319 Quise decir descomposición de valor singular, en lugar de descomposición espectral. El $ai_s$ son los valores singulares de $M$ , es decir, las raíces cuadradas de los valores propios de $M\overline{M}^t$ .

usuario7785693 · Answer 2

Contraejemplo (a la pregunta anterior): $U=[[1/2,(1+i\sqrt2)/2],[(1-i\sqrt2)/2,-1/2]]$ , $M=[[1.1,0],[1,0]]$

Límite superior en la traza del producto de matriz unitaria y arbitraria

usuario7785693

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Respuestas (2)

Daniel

usuario193319

Daniel

usuario7785693

Un límite superior para trace(A2)trace(A2)\text{trace}(A^2) en términos de trace(A)trace(A)\text{trace}(A)

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