Matriz positiva y vector positivo

Dejar A ∈ R norte × norte sea ​​una matriz no negativa, es decir A i , j ≥ 0 ∀ ( i , j ) .

Dejar X ∈ R norte ∖ { 0 } ser un vector no negativo, es decir X i ≥ 0 ∀ i .

Asumir A X > X (por componentes), es decir ( A X ) i > X i ∀ i .

Demuestre que se cumple la siguiente desigualdad por componentes:

A ( A X − X ) > A X − X .

Comentario. Esto es lo que probé. La suposición es equivalente a ( A − I ) X > 0 , mientras que la tesis es equivalente a ( A − I ) 2 X > 0 . Darse cuenta de A − I es Metzler . Ahora, por contradicción, sea X ≠ 0 tal que ( A − I ) 2 = 0 , es decir, X pertenece al espacio nulo de ( A − I ) 2 . ¿Esto implica que X también pertenece al espacio nulo de A − I ?

¿Quieres decir, "decidir si A ( A X − X ) > A X − X "?
La gente está votando para poner su pregunta en espera como "no está claro lo que está preguntando", sospecho porque no entienden lo que quiere decir con "Di si: A ( A X − X ) > A X − X . "Por favor, aclara lo que quieres decir con esto; creo que probablemente te refieres a decidir si eso debe ser cierto o no.
¿Está claro ahora?
si, ya esta claro.
Gracias por detectar esto. Tu pensamiento fue realmente correcto.

Respuestas (2)

Aquí hay un contraejemplo:

A = ( 0.86 0.88 0,92 0.17 ) , X = ( 69 11 )
En efecto,
y := A X − X = ( 69.02 65.35 ) − ( 69 11 ) = ( 0.02 54.35 ) > 0
pero
A y = ( 47.8452 9.2579 ) ≯ y

El siguiente código ( Scilab ) encuentra tales ejemplos con creces.

for i=1:100
    A=rand(2,2,"uniform")
    for j=1:100
        x=rand(2,1,"uniform") 
        y=A*x-x
        if min(y)>0 & min(A*y-y)<0 
            disp(A*y-y,x,A)    
        end 
    end
end

Aquí están todos los contraejemplos con dimensión. norte = 2 y entradas en { 0 , 1 , 2 } .

[[0, 1], [0, 2]] [0, 1]
[[0, 1], [0, 2]] [0, 2]
[[0, 1], [1, 1]] [1, 2]
[[0, 1], [1, 2]] [0, 1]
[[0, 1], [1, 2]] [0, 2]
[[0, 1], [2, 2]] [0, 1]
[[0, 1], [2, 2]] [0, 2]
[[0, 2], [0, 2]] [0, 1]
[[0, 2], [0, 2]] [0, 2]
[[0, 2], [1, 1]] [1, 2]
[[0, 2], [1, 2]] [0, 1]
[[0, 2], [1, 2]] [0, 2]
[[0, 2], [2, 2]] [0, 1]
[[0, 2], [2, 2]] [0, 2]
[[1, 1], [1, 0]] [2, 1]
[[1, 1], [2, 0]] [2, 1]
[[2, 0], [1, 0]] [1, 0]
[[2, 0], [1, 0]] [2, 0]
[[2, 0], [2, 0]] [1, 0]
[[2, 0], [2, 0]] [2, 0]
[[2, 1], [1, 0]] [1, 0]
[[2, 1], [1, 0]] [2, 0]
[[2, 1], [2, 0]] [1, 0]
[[2, 1], [2, 0]] [2, 0]
[[2, 2], [1, 0]] [1, 0]
[[2, 2], [1, 0]] [2, 0]
[[2, 2], [2, 0]] [1, 0]
[[2, 2], [2, 0]] [2, 0]
Total found: 28

código pitón:

def find_counterexamples(lower, upper) :
    # Matrix A:
    #   a b
    #   c d
    # Vector x: x, y
    count = 0
    for a in range(lower, upper) :
        for b in range(lower, upper) :
            for c in range(lower, upper) :
                for d in range(lower, upper) :
                    for x in range(lower, upper) :
                        for y in range(lower, upper) :
                            if is_valid_counterexample(a,b,c,d,x,y) :
                                print [[a,b],[c,d]], [x,y]
                                count += 1
    print "Total found: "
    print count
    print "\n"

def is_valid_counterexample(a,b,c,d,x,y) :
    x2 = (a - 1) * x + b * y
    y2 = c * x + (d - 1) * y
    x3 = (a - 1) * x2 + b * y2
    y3 = c * x2 + (d - 1) * y2
    if x2 <= 0 or y2 <= 0 :
        return False
    elif x3 > 0 and y3 > 0 :
        return False
    else :
        return True

lower = 0
upper = 1 + int(raw_input("upper: "))
find_counterexamples(lower, upper)
Matriz positiva y vector positivo
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