límite superior para trace(ATA)trace⁡(ATA)\operatorname{trace}(A^TA) en términos de trace(A)trace⁡(A)\operatorname{trace}(A)

Dejar$A=\begin{bmatrix} 0 & n\\ 0& 0\\ \end{bmatrix}$.Entonces$\mbox{tr}(A)=0$pero$A^TA=\begin{bmatrix}0 &0 \\0 &n^2 \\ \end{bmatrix}$y por lo tanto

$$\mbox{trace}(A^TA)=n^2$$

Básicamente, lo que estás preguntando es la siguiente pregunta

Pregunta ¿Puedo unir la suma de los cuadrados de todos los elementos en$A$(esto es exactamente$tr(A^TA)$) por la suma de los elementos diagonales en$A$?

La respuesta es obviamente no, ya que la primera suma aumenta cuando aumentamos las entradas no diagonales de$A$, mientras que el segundo permanece sin cambios.

"Estoy consciente de$\text{Trace}(B^TB) \leq \text{Trace}(B)^2$cuando 𝐵 es definida semipositiva, pero me interesa el caso de una matriz cuadrada general con entradas reales".

Deberías probarte a ti mismo que en reales,
$\text{Trace}(B^TB) = \big\Vert B \big \Vert_F^2 \geq 0$con igualdad si y si $B = \mathbf 0$.

Ahora elige algo general$B$eso es sin rastro. Podría, por ejemplo, tener una estructura bipartita como, por ejemplo

$B:= \begin{bmatrix} 0 & A \\ C & 0 \\ \end{bmatrix} \quad$para algunos$A \neq \mathbf 0$Su desigualdad deseada nunca puede ser cierta aquí.

Además: considere las matrices de permutación que no tienen puntos fijos.