¿Qué propiedad de campo nos permite multiplicar en ambos lados por el mismo valor, conservando la igualdad? [duplicar]

Actualmente estoy leyendo Principios de análisis matemático de Rudin y estoy aprendiendo sobre los campos y sus propiedades. Tenga en cuenta que este es el capítulo inicial: recién estoy comenzando.

Me preguntaba qué propiedad de campo nos permite multiplicar en ambos lados de una ecuación y aún así preservar la igualdad.

Hay una proposición muy clara establecida en el libro que me da esto para las desigualdades:

Si     X > 0     y     y < z     entonces     X y < X z .

Sin embargo, la única proposición que parece útil para esto en el caso de las igualdades, se enuncia como una implicación y no como una equivalencia:

Si   X ≠ 0     y     X y = X z     entonces     y = z .

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Si y = z , entonces puede reemplazar cualquier aparición de y por z en cualquier fórmula: entonces tienes X y = X z por lógica Esto se mantiene incluso si X = 0 .
Esto parece la misma pregunta que " ¿Existe una ley que pueda sumar o multiplicar a ambos lados de una ecuación? ". ¿Las respuestas allí responden a su pregunta?

Respuestas (2)

Esta no es una propiedad de campo, es una propiedad del marco lógico subyacente dentro del cual estamos definiendo campos en primer lugar.

Específicamente, la propiedad principal es que si a = b entonces cualquier oración que involucre a es equivalente a la misma oración obtenida reemplazando algunos de los a está con b s; también usamos la propiedad más simple que " = " es reflexivo. A partir de esto podemos argumentar:

  • Suponer a = b .

  • Por reflexividad tenemos metro a = metro a .

  • Ahora por el primer punto podemos sustituir b para el segundo a en el segundo punto, que nos da

    metro a = metro b
    como se desee.

Ese marco lógico a menudo se esconde debajo de la alfombra. Algunas personas encuentran esto útil ya que significa que no tienen que preocuparse por hechos tan "básicos" y pueden concentrarse en cosas más interesantes. Otros encuentran esto molesto ya que ocultar suposiciones realmente va en contra del sentido del giro "axiomático" del que forma parte la definición de campos en primer lugar. Personalmente, me inclino por no esconder este tipo de cosas debajo de la alfombra, pero eso refleja mis propios prejuicios lógicos.

Además de las reglas básicas para la igualdad, nuestras reglas lógicas también nos dicen cómo manipular declaraciones en general. Por ejemplo, el hecho de que pueda probar "Cada X tiene propiedad PAG " introduciendo una arbitraria X y mostrando que tiene propiedad PAG es sólo la regla de generalización universal .

Sin embargo, hay algunas sutilezas en torno a este marco lógico en sí. Básicamente, el razonamiento matemático "ingenuo" tiene lugar en una lógica de segundo orden (o similar), pero eso es realmente terrible cuando realmente lo miramos. La lógica de primer orden resulta ser el camino correcto, pero con un giro: estudiamos (por ejemplo) campos dentro de la gran teoría de primer orden. Z F C , el último de los cuales sirve como un marco general de uso múltiple para la realización de matemáticas.

+1 y creo que uno siempre debe inclinarse por el lado de no barrer debajo de la alfombra en la medida de lo posible.
Muchas gracias por su completa respuesta. Tuve una pequeña pregunta de seguimiento con respecto al marco lógico que mencionaste y la lógica en general que respalda todo esto desde el fondo. ¿Sería prudente tratar de aprender un poco sobre esto, mientras se aprende este álgebra abstracta necesaria para el análisis? Y si es así, ¿tiene alguna recomendación en términos de los recursos que podría usar para lograr esto? Gracias de antemano.
@LukaDuranovic Argh, esa es una buena pregunta y no estoy seguro de que haya una respuesta uniforme. Todo depende de la persona que lo aprenda. Diría que todo se reduce a cómo te sientes acerca de la prueba formal (= argumentos paso a paso donde cada paso se sigue de los anteriores a través de un conjunto explícito de reglas; ¡no se permite el "lenguaje natural"!). Si encuentras este tipo de cosas emocionantes, ver todos los detalles (creo) te dará mucha más confianza en lo que estás haciendo; si por el contrario lo encuentras aburrido, y puedes razonablemente , creo que sería una mejor idea darlo por sentado
si puedes. Y, por supuesto, los detalles de tu(s) clase(s) también son importantes (tal vez realmente quieras aprender la lógica pero no tienes tiempo). En cuanto a una fuente, personalmente juro por capítulos 9 y 10 de Boolos/Burgess/Jeffrey . No se deje engañar: los 8 capítulos anteriores no son necesarios para esto (aunque son bastante divertidos). Vale la pena comprar una copia en mi opinión (aunque aparentemente tiene una versión de tapa dura por alrededor de ps 100 - ¡no compre ese , obviamente!).
Curiosamente, ¡esto se remonta a las matemáticas de la escuela secundaria! Mi maestro pensó que en lugar de seguir ciegamente una regla como 'cambiar el lado y cambiar el signo' y barrer los detalles debajo de la alfombra, podríamos beneficiarnos al comprender lo que realmente estaba sucediendo (es decir, sumar o restar el mismo número de ambos lados de una ecuación). Sospecho que esa pequeña percepción realmente me ayudó. Y es exactamente el mismo principio que en esta pregunta: si haces lo mismo en ambos lados de una ecuación, obtienes otra ecuación.
Noah, voy a tener que estar en desacuerdo contigo en tu último párrafo. En la práctica, los matemáticos no trabajan en lógica de segundo orden, sino en lógica de primer orden de orden múltiple. No hay razón para pensar que el razonamiento usando los axiomas de campo está de alguna manera 'dentro' de la teoría de campos, cuando de hecho los matemáticos simplemente están razonando usando los axiomas de campo aplicados a los miembros y operaciones del campo específico. Si desea llamar a esto semántica de Henkin para lógica de segundo orden, está bien, pero no es "terrible" en absoluto. =)
Tal vez podría pensar en cosas como la axiomatización de la topología, que en cierto sentido es verdaderamente de segundo orden. Pero eso es en aislamiento. En la práctica, los matemáticos quieren razonar sobre topologías arbitrarias, por lo que querrían cuantificar sobre topologías, lo que significa que debe trabajar en alguna teoría de conjuntos o lógica de tercer orden. En otras palabras, en realidad nunca es una lógica de segundo orden jaja..
@LukaDuranovic: Diría que es mejor aprender a usar un sistema deductivo formal práctico para la lógica de primer orden, como un sistema estilo Fitch, para poder comprender cómo se puede llevar a cabo un razonamiento matemático con un 100% de rigor. No debería tomar más de una semana de esfuerzo, pero en mi opinión, traería toda una vida de comprensión lógica clara como el cristal de las matemáticas. Tenga en cuenta que el sistema deductivo tiene un número finito de reglas pero está completo; si algo está lógicamente forzado por los axiomas, entonces puede probarse.
@LukaDuranovic: Para abordar su consulta, basta con mirar las reglas =intro/elim (introducción/eliminación). La regla =intro te permite deducir " mi = mi " para cualquier objeto mi . En su caso, dado cualquier elemento X , y de un campo ( F , · ) , X · y es un objeto asi X · y = X · y . La regla = elim básicamente dice que si mi , F son objetos y has deducido " mi = F " y " PAG ( mi ) " dónde " PAG ( mi ) " es una declaración sobre mi , entonces puedes deducir " PAG ( F ) (es decir, la misma afirmación sobre F ). Aquí PAG ( t ) es " X · y = X · t . Entonces, bajo el supuesto de " y = z ", se puede deducir" PAG ( y ) " y por lo tanto " PAG ( z ) ".
@ usuario21820, ¿tiene alguna recomendación de referencia que proporcione esta vida de comprensión lógica cristalina de las matemáticas?
@Joe: ¡Hola! Lo que quise decir en mi comentario fue que una vez que esté familiarizado con el uso de un sistema deductivo para FOL, podrá traducir fácilmente cualquier razonamiento matemático a FOL y, por lo tanto, tendrá una comprensión clara del razonamiento (es decir, no se basará en una vaga intuición con una perpetua incertidumbre sobre la corrección de un argumento). Si desea aprender un sistema deductivo, le recomiendo mi sistema vinculado o el que figura en "Lenguaje, Prueba y Lógica", y puede encontrarme en esta sala de chat para obtener más detalles.
Personalmente, noté esta "incertidumbre perpetua" en la gran mayoría de los estudiantes que no están familiarizados con un sistema deductivo; nunca están 100% seguros y buscan la verificación de sus demostraciones por parte de los maestros, porque ni siquiera son conscientes de que existe un conjunto finito fijo de reglas deductivas que es suficiente para todas las matemáticas .
@ usuario21820, ¡Gracias! Buscaré esa referencia.

Bueno, en realidad esto se debe a alguna propiedad de campo (pero que generalmente se encuentra en el preámbulo de la definición y no en la lista de axiomas): la definición de un campo establece que la multiplicación es un mapa metro tu yo t llevando dos argumentos del terreno a otro.

Y una de las propiedades inherentes de los mapas es que tienen una sola salida para cualquier entrada dada. Eso significa que si a = b que metro tu yo t ( metro , a ) y metro tu yo t ( metro , b ) tienen la misma entrada y por lo tanto, sus salidas metro a y metro b son lo mismo.

Sí. En matemáticas, esto generalmente se da por sentado, pero en la mayoría de los lenguajes de programación, las "funciones" en realidad pueden dar resultados diferentes cuando se invocan dos veces con el mismo argumento. La propiedad de no hacer eso se llama transparencia referencial .
@leftaroundabout En lenguaje coloquial, también se les conoce como funciones 'puras'.
Muchas gracias por esta respuesta. @leftaroundabout Gracias por tu comentario. Sé a lo que te refieres cuando hablas de este fenómeno en los lenguajes de programación. Supongo que es por eso que a algunas personas les gusta tanto Haskell.
¿Se necesita también la propiedad de ser un mapa para derivar a b = a b ?
@CarstenS No, no lo creo. Eso es equivalente a F ( X ) = F ( X ) y mientras F devuelve lo mismo cada vez que conecta lo mismo (podría llamarse "función determinista") esto se mantiene.
Pero debido a las propiedades (lógicas, vea la otra respuesta) de la relación de igualdad, decir que X = y implica F ( X ) = F ( y ) no utiliza ninguna propiedad de F otro que F ( X ) = F ( X ) . Y si ese no fuera el caso, entonces la notación F ( X ) ya sería fatalmente defectuoso. Por lo tanto, su respuesta no tiene mucho sentido para mí. Esto sería diferente, por supuesto, si habláramos de una relación de equivalencia definida en lugar de una relación de igualdad.
Bien, F podría ser una relación en lugar de una función y esto cambiaría las cosas... Para ponerlo bastante descuidado: "Función (determinista): solo una salida para cada entrada", "relación: un conjunto de salidas para algunas entradas", y (inusual) "función aleatoria: una salida diferente cada vez que se invoca"
¿Qué propiedad de campo nos permite multiplicar en ambos lados por el mismo valor, conservando la igualdad? [duplicar]
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