Sea p:[−1,1]→Rp:[−1,1]→Rp:[-1,1] \to \mathbb{R} un polinomio. Demostrar ∃∃\existe un polinomio qqq con coeficientes racionales st ∥p−q∥∞<ϵ‖p−q‖∞<ϵ\Vert pq \Vert_\infty \lt \epsilon

Question

Sea p:[−1,1]→Rp:[−1,1]→Rp:[-1,1] \to \mathbb{R} un polinomio. Demostrar ∃∃\existe un polinomio qqq con coeficientes racionales st ∥p−q∥∞<ϵ‖p−q‖∞<ϵ\Vert pq \Vert_\infty \lt \epsilon

Matemáticas
polinomios
análisis real
prueba de verificación
análisis funcional

Sol

Dejar $p:[-1,1] \to \mathbb{R}$ sea un polinomio. Demuestra que por cada $\epsilon \gt0, \exists$ un polinomio $q:[-1,1] \to \mathbb{R}$ con coeficientes racionales st $\Vert p-q \Vert_\infty \lt \epsilon$ .

Mi enfoque general es construir un polinomio con coeficientes racionales.

Prueba:

Dejar $\epsilon \gt 0$ sea dado y sea un polinomio $p$ ser dado. Dejar $p(x) = a_0 + a_1x+ a_2x^2 +\dots+ a_nx^n$ para algunos $n \in \mathbb{N}$ y $a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}$ .

Definir un polinomio $q(x) = b_0 + b_1x +\dots+b_nx^n$ , donde cada coeficiente $b_i$ es definido por:

$\displaystyle b_i = \frac{l_i}{m_i}$ dónde $l_i,m_i \in \mathbb{N}, m_i \neq 0$ , calle $\displaystyle \left| \frac{l_i}{m_i} -a_i \right| \lt \frac{\epsilon}{n+1}$ .

Entonces

\begin{aligned} | pag (X) - q (X) | & = | (a_{0} - \frac{{yo}_{0}}{{metro}_{0}}) + (a_{1} - \frac{{yo}_{1}}{{metro}_{1}}) X + \dots + (a_{norte} - \frac{{yo}_{norte}}{{metro}_{norte}}) X^{norte} | \\ \leq | a_{0} - \frac{{yo}_{0}}{{metro}_{0}} | + | a_{1} - \frac{{yo}_{1}}{{metro}_{1}} | \cdot | X | + \dots + | a_{norte} - \frac{{yo}_{norte}}{{metro}_{norte}} | \cdot | X^{norte} | \\ \leq \frac{ϵ}{norte + 1} + \frac{ϵ}{norte + 1} \cdot | X | + \dots + \frac{ϵ}{norte + 1} \cdot | X^{norte} | \\ \leq \frac{ϵ}{norte + 1} (norte + 1) \\ = ϵ . \end{aligned}

$\begin{align} \displaystyle |p(x)-q(x)| & = \left| \left(a_0-\frac{l_0}{m_0}\right) + \left(a_1-\frac{l_1}{m_1}\right)x + \dots + \left(a_n-\frac{l_n}{m_n}\right)x^n\right| \\ & \leq \left| a_0-\frac{l_0}{m_0} \right| + \left| a_1-\frac{l_1}{m_1} \right| \cdot |x| + \dots + \left| a_n-\frac{l_n}{m_n} \right| \cdot |x^n| \\ & \leq \frac{\epsilon}{n+1} + \frac{\epsilon}{n+1} \cdot |x| + \dots + \frac{\epsilon}{n+1} \cdot |x^n| \\ & \leq \frac{\epsilon}{n+1} (n+1) \\ & = \epsilon . \end{align}$

Entonces $|p(x) - q(x)| \lt \epsilon, \ \forall x \in [-1,1]$ , entonces $\Vert p-q \Vert_\infty \lt \epsilon$ .

$\Box$

Me gustaría recibir comentarios sobre la corrección general, el estilo y la simplificación, si es posible.

Gracias.

Reveillark

Tu prueba es correcta. Sería notablemente más simple no especificar el

b_{i}

$b_i$ como fracciones, ya que eso es irrelevante para el asunto en cuestión; en el sentido de que son propiedad clave de

Q

$\mathbb{Q}$ es su densidad. De hecho, su prueba funciona para polinomios con coeficientes en cualquier conjunto denso.

DanielWainfleet

Como dijo @Reveillark, solo di

b_{i} \in Q

$b_i\in \Bbb Q$ y reemplaza cada uno

l_{i} / m_{i}

$l_i/m_i$ con

b_{i}

$b_i$ .... Y para un mejor estilo, antes en la pantalla principal sobre

p (x) - q (x)

$p(x)-q(x)$ , reemplace "Entonces" con "Entonces para todos

x \in [0, 1]

$x\in [0,1]$ tenemos". Trabajo bastante correcto.

DanielWainfleet

Mi edición fue poner un punto después

ϵ

$\epsilon$ en la penúltima línea. Lo felicito por su estilo: oraciones gramaticalmente completas, lógicamente relacionadas.

DanielWainfleet

También puede emplear la notación de suma

\sum

$\sum$ en lugar de

+ . . . +

$+...+$ pero yo llamaría a esto una cuestión de gusto. Pero en la sección sobre

| p (x) - q (x) |

$|p(x)-q(x)|$ debe borrar los términos que incluyen

a_{1},

$a_1,$ porque son innecesarios y porque puede ser que

n = 0.

$n=0.$ ... Tengo algunos errores en mis otros comentarios, pero es demasiado tarde para editarlos.

Respuestas (1)

Sea p:[−1,1]→Rp:[−1,1]→Rp:[-1,1] \to \mathbb{R} un polinomio. Demostrar ∃∃\existe un polinomio qqq con coeficientes racionales st ∥p−q∥∞<ϵ‖p−q‖∞<ϵ\Vert pq \Vert_\infty \lt \epsilon

Tu prueba es correcta. Sería notablemente más simple no especificar el $b_i$ como fracciones, ya que eso es irrelevante para el asunto en cuestión; en el sentido de que son propiedad clave de $\mathbb{Q}$ es su densidad. De hecho, su prueba funciona para polinomios con coeficientes en cualquier conjunto denso.
Como dijo @Reveillark, solo di $b_i\in \Bbb Q$ y reemplaza cada uno $l_i/m_i$ con $b_i$ .... Y para un mejor estilo, antes en la pantalla principal sobre $p(x)-q(x)$ , reemplace "Entonces" con "Entonces para todos $x\in [0,1]$ tenemos". Trabajo bastante correcto.
Mi edición fue poner un punto después $\epsilon$ en la penúltima línea. Lo felicito por su estilo: oraciones gramaticalmente completas, lógicamente relacionadas.
También puede emplear la notación de suma $\sum$ en lugar de $+...+$ pero yo llamaría a esto una cuestión de gusto. Pero en la sección sobre $|p(x)-q(x)|$ debe borrar los términos que incluyen $a_1,$ porque son innecesarios y porque puede ser que $n=0.$ ... Tengo algunos errores en mis otros comentarios, pero es demasiado tarde para editarlos.

usuario284331 · Answer 1

Una forma compacta de escribir, tal vez:

Elegir $b_{i}\in\mathbb{Q}$ tal que $|a_{i}-b_{i}|<\epsilon/(n+1)$ , entonces para $x\in[-1,1]$ ,

\begin{aligned} | pag (X) - q (X) | & = | \sum_{i = 0}^{norte} (a_{i} - b_{i}) X^{i} | \\ \leq \sum_{i = 0}^{norte} | a_{i} - b_{i} | | X |^{i} \\ \leq \sum_{i = 0}^{norte} | a_{i} - b_{i} | \\ < \sum_{i = 0}^{norte} \frac{ϵ}{norte + 1} \\ = ϵ, \end{aligned}

$\begin{align*} |p(x)-q(x)|&=\left|\sum_{i=0}^{n}(a_{i}-b_{i})x^{i}\right|\\ &\leq\sum_{i=0}^{n}|a_{i}-b_{i}||x|^{i}\\ &\leq\sum_{i=0}^{n}|a_{i}-b_{i}|\\ &<\sum_{i=0}^{n}\dfrac{\epsilon}{n+1}\\ &=\epsilon, \end{align*}$ entonces

‖ p - q ‖ \leq ϵ

$\|p-q\|\leq\epsilon$ .

Sea p:[−1,1]→Rp:[−1,1]→Rp:[-1,1] \to \mathbb{R} un polinomio. Demostrar ∃∃\existe un polinomio qqq con coeficientes racionales st ∥p−q∥∞<ϵ‖p−q‖∞<ϵ\Vert pq \Vert_\infty \lt \epsilon

Sol

Reveillark

DanielWainfleet

DanielWainfleet

DanielWainfleet

Respuestas (1)

usuario284331

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