Dibujo de formas regulares aproximadas en cuadrícula cuadrada

Históricamente, las personas que intentaban usar relaciones de engranajes para aproximarse a la proporcionalidad irracional tenían un problema similar, ya que siempre hay un número natural de dientes en cualquier engranaje en particular. Cuento muy corto: Los convergentes de fracciones continuas son la "mejor" aproximación del verdadero valor de un número irracional en el sentido de que no hay otro número racional que esté más cerca del verdadero valor con un denominador más pequeño. (En realidad, las garantías sobre la aproximación son más sólidas que esto, lo que puede ver en la entrada de wikipedia sobre fracciones continuas ).

Los convergentes de fracciones continuas de varios irracionales le dirán qué tipo de escala necesitaría para lograr sus aproximaciones. En la práctica, esto significaría que tiene algo así como una expresión exacta para la ubicación de los puntos, que luego convierte a una aproximación racional con un error menor que lo que considera la desviación aceptable más pequeña (tal vez el grosor de su línea, tal vez 1/ 20 de un espaciado de rejilla).

Considere el problema de tener un punto en$\sqrt{2}$en algún eje. La raíz cuadrada de 2 es aproximadamente 1. Bueno, no 1. Más bien$1 + \frac{1}{2}$. Bueno, no del todo 2, más bien$2 + \frac{1}{2}$. En realidad, la fracción continua de

y sus convergentes son$1,~ \frac{3}{2},~ \frac{7}{5},~ \frac{17}{12},~ \frac{41}{29},~ \ldots$que son respectivamente menor que, mayor que, menor que... el valor real. Si cambiamos mentalmente la escala de nuestra hoja para que 12 unidades sean "1", entonces 17 unidades son aproximadamente$\sqrt{2}$.

Esto no es realmente una respuesta, solían ser tres comentarios largos, ahora reunidos para que sean más fáciles de leer.

Si miras tu hexágono (cerca del pentágono) podrías considerar que cada lado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Si cada cuadrado (del papel cuadriculado) tiene una longitud lateral$1$, entonces ese hexágono tiene cuatro lados de longitud$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$y dos lados de longitud$\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}$. Su otro hexágono no tiene vértices en la cuadrícula, tiene un par de vértices en los puntos medios de los "segmentos de la unidad de cuadrícula", por lo que uno tiene que duplicar todos los lados para que quepa en la cuadrícula. Si se hace eso, entonces tiene dos lados horizontales de longitud$8=\sqrt{64}$, y cuatro lados de longitud$\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}$.

Entonces, un paso (por supuesto incompleto) sería buscar (pequeño, entero)$a,b,p,q$con$a^2+b^2\approx p^2+q^2$, Por ejemplo$a^2+b^2=p^2+q^2\pm1$, dónde$a,b,p>0$y$q≥0$. Esto podría hacerse con una computadora. Entonces, sería el siguiente paso (que no traté de resolver) una vez que encuentre tal$a,b,p,q$, trata de encontrar un triángulo rectángulo con lados$a,b$y otro triángulo rectángulo de lados$p,q$, e intenta juntarlos para usar las hipotenusas como lados de tu polígono. Más generalmente busca$a_1^2+b_1^2\approx a_2^2+b_2^2\approx...\approx a_n^2+b_n^2$para un adecuado$n$(por ejemplo, su septágono tiene$n=4$).

Su septágono tiene un punto que es un punto medio de un "segmento de unidad de cuadrícula", por lo que multiplica todos los lados por$2$, obtengo longitudes (de abajo hacia arriba, cuadrados de longitud de hipotenusas, en lugar de longitudes en sí mismas):
$10^2+0^2=100=6^2+8^2\approx104=10^2+2^2\approx97=4^2+9^2$.
Esto parece estar relacionado con el enlace que proporciona en la declaración de su pregunta, así como con el enlace en el comentario de @dantopa (sobre las ecuaciones de Diofanto), así como (no exactamente) triples pitagóricos (pero no miramos para$a^2+b^2=c^2$, solo para
$a^2+b^2=$entero$\approx$otro entero$=p^2+q^2$).

Al principio: la idea es buena para el diseño. Mi primer intento es difícil y primitivo, pero la idea puede tener una implementación más exitosa.

Y el segundo intento puede ser más interesante, porque este, como si, fuera el único polígono no convexo con ejes de simetría pronunciados, cuyos vértices "convexos" se encuentran en un círculo. Y que se puede pavimentar con un avión.

Además, en disposición vertical, es muy similar a la recompensa por lo positivo, que está presente en el tópico.

Para un hexágono, usando la fracción continua para$\sqrt{3}$, [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1... podría funcionar muy bien. No he descubierto una prueba, pero creo que para un pentágono, la precisión más alta posible se acerca a un pentágono perfecto a un ritmo mucho más lento con respecto al límite de tamaño. Creo que una mejor manera de descubrir cómo dibujar un pentágono más preciso es descartar el criterio de que los vértices estén en intersecciones exactas en el papel cuadriculado y, en cambio, hacer las matemáticas y calcular un pentágono exacto cuyas intersecciones exactas están en qué lado de cada uno de sus bordes y luego dibuja líneas que estén en el mismo lado de cada uno de esos puntos que los bordes del pentágono exacto. El punto final de un borde no necesariamente estará muy cerca de una intersección en la cuadrícula, pero alguna parte del borde podría estar mucho más cerca de uno. No se moleste en usar sus ojos para verificar la precisión de las formas que dibujó."Pruebas" visualmente engañosas que son matemáticamente incorrectas , los ojos son propensos a las ilusiones ópticas incluso de imágenes matemáticamente imposibles. Las matemáticas le dirán de manera más confiable si existe un pentágono que contiene todo un determinado conjunto de puntos de intersección en la cuadrícula y solo esos puntos de intersección. Hay una manera de definir matemáticamente un cierto pentágono y averiguar matemáticamente para cada punto de intersección en la cuadrícula en qué lado de cada borde del pentágono extendido hasta el infinito está.