¿Hay números enteros positivos a,b,c,da,b,c,da, b, c, d tales que (a,b,c)(a,b,c)(a, b, c) y ( b,c,d)(b,c,d)(b, c, d) son ternas pitagóricas?

Question

¿Hay números enteros positivos a,b,c,da,b,c,da, b, c, d tales que (a,b,c)(a,b,c)(a, b, c) y ( b,c,d)(b,c,d)(b, c, d) son ternas pitagóricas?

Matemáticas
triples pitagóricos
ecuaciones diofánticas
teoría-de-números-elemental

Danijel

La terna pitagórica es una terna de números enteros. $(a, b, c)$ tal que $a^2+b^2=c^2$ . ¿Existe alguna terna pitagórica tal que, no sólo $a^2+b^2$ , pero también $b^2+c^2$ es un numero cuadrado? Si no, ¿cómo probarlo?

Traté de probar la inexistencia de la siguiente manera: si es cierto, significaría que hay un par de números enteros tales que tanto la suma como la diferencia de sus cuadrados es un número cuadrado. Llamemos a estos números enteros $a$ y $b$ y $a<b$ . Entonces, hay números enteros $c$ y $d$ tal que:

\begin{aligned} a^{2} + b^{2} = C^{2} \\ a^{2} - b^{2} = d^{2} \end{aligned}

$\begin{align} &a^2+b^2=c^2 \\ &a^2-b^2=d^2 \end{align}$

Multiplicando esas ecuaciones da:

a^{4} = (C d)^{2} + b^{4}

$\begin{equation} a^4=(cd)^2+b^4 \end{equation}$

Esto es similar al último teorema de Fermat para $n=4$ , pero usarlo solo muestra que $cd$ no puede ser un número cuadrado, no es que no haya soluciones enteras.

individuo

Hay triples pitagóricos.

x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2} = z^{2}

$x^2+y^2=a^2+b^2=z^2$ Y no hay ninguno. Todavía lo demostró Euler.

Danijel

@individ ¿podría aclarar su comentario?

individuo

Tu ecuación no tiene soluciones.

Danijel

@individ ¿Y cómo demostrar que no hay soluciones?

Xena

Estoy tratando de resolver esto y si tal

d

$d$ existe debe satisfacer

2 b^{2} = (a + d) (d - a)

$2b^2=(a+d)(d-a)$ . No sé... ¿Quizás esto te da algunas ideas? También

a

$a$ y

d

$d$ debe tener la misma paridad. Y

2 (a + d) (a - d)

$2(a+d)(a-d)$ debe ser de la forma

4 k

$4k$ .

Luciano

prueba _

Martín Sleziak

Consulte también: math.stackexchange.com/questions/1146460/…

Respuestas (2)

¿Hay números enteros positivos a,b,c,da,b,c,da, b, c, d tales que (a,b,c)(a,b,c)(a, b, c) y ( b,c,d)(b,c,d)(b, c, d) son ternas pitagóricas?

Hay triples pitagóricos. $x^2+y^2=a^2+b^2=z^2$ Y no hay ninguno. Todavía lo demostró Euler.
Estoy tratando de resolver esto y si tal $d$ existe debe satisfacer $2b^2=(a+d)(d-a)$ . No sé... ¿Quizás esto te da algunas ideas? También $a$ y $d$ debe tener la misma paridad. Y $2(a+d)(a-d)$ debe ser de la forma $4k$ .
Consulte también: math.stackexchange.com/questions/1146460/…

Will Jagy · Answer 1

Estos son triples con $x^2 + y^2 = 2 z^2,$ Todo positivo y $\gcd(x,y) = 1.$

February 14, 2015   x^2 + y^2 = 2 z^2
           x           y           z
           1           1           1
           1           7           5
           1          41          29
           1         239         169
           7          17          13
           7          23          17
           7         103          73
           7         137          97
          17          31          25
          17          73          53
          17         193         137
          17         431         305
          23          47          37
          23          89          65
          23         289         205
          31          49          41
          31         151         109
          31         311         221
          41         113          85
          41         119          89
          47          79          65
          47         217         157
          47         497         353
          49          71          61
          49         257         185
          49         457         325
          71          97          85
          71         391         281
          73         161         125
          73         263         193
          79         119         101
          79         401         289
          89         191         149
          89         329         241
          97         127         113
         103         271         205
         103         313         233
         113         217         173
         113         463         337
         119         167         145
         119         233         185
         119         479         349
         127         161         145
         137         367         277
         137         409         305
         151         343         265
         161         199         181
         161         281         229
         167         223         197
         191         329         269
         193         497         377
         199         241         221
         217         353         293
         217         487         377
         223         287         257
         233         383         317
         241         287         265
         281         433         365
         287         337         313
         287         359         325
         337         391         365
         359         439         401
         391         449         421
jagy@phobeusjunior

Voy a buscar el cuaderno en el que hice el trabajo de borrador. Pero estoy bastante seguro de que todos esos casos fallan por la misma razón, que $z^2 - x^2$ no es un cuadrado perfecto. Editar: acabo de verificar, todos esos casos fallan para ese caso.

Randall · Answer 2

Para el $(a,b,c)$ y $(b,c,d)$ Triples pitagóricas para trabajar, observamos:

$a,b,c$ es primitivo (de lo contrario se reduce por el gcd)
asimismo $b,c,d$ es primitivo
Usando la solución tradicional para un triple: $2mn$ ; $m^2-n^2$ ; $m^2+n^2$ , entonces $c$ es impar
si $c$ es raro en el $(b,c,d)$ triple, entonces $b$ debe ser par = $2mn$
Entonces nosotros tenemos ( $2mn$ , $m^2+n^2$ , $d$ ) para el segundo triple
Entonces $(2mn)^2$ + $(m^2+n^2)^2$ = $m^4 + 6m^2n^2 + n^4 = d^2$ el cual es un $\square$

Pero HC Pocklington de St John's College en 1913 probó que 6 para el coeficiente de $x^2y^2$ en la ecuacion general $x^4 + dx^2y^2+y^4 = z^2$ es imposible por módulos primos, en este caso 6 != 7 mod 8 Ver HC Pocklington. "Algunas imposibilidades diofánticas" Proc. Camb. Fil. Soc, 17: pp 110 – 118, 1914.

@DanielWainfleet Significa $6!=720=8\cdot90$ no puede ser de la forma $8n+7$ .

¿Hay números enteros positivos a,b,c,da,b,c,da, b, c, d tales que (a,b,c)(a,b,c)(a, b, c) y ( b,c,d)(b,c,d)(b, c, d) son ternas pitagóricas?

Danijel

individuo

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Respuestas (2)

Will Jagy

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Randall

DanielWainfleet

Antonio DJC

Triple meta-pitagórico

Triples de enteros positivos a,b,ca,b,ca,b,c con racional c−ac+b−−−√,c+ac−b−−−√c−ac+b,c+ac−b\ sqrt{\frac{ca}{c+b}},\sqrt{\frac{c+a}{cb}}

La prueba de la infinitud de las ternas pitagóricas (x,x+1,z)(x,x+1,z)(x,x+1,z)

¿Cómo descender dentro del “Árbol de las ternas pitagóricas primitivas”?

Buscando referencias a subconjuntos triples pitagóricos

¿Existe un número cuadrado perfecto n, cuyo valor de Euler Totient también sea un cuadrado perfecto?

Prueba de que el producto de las hipotenusas pitagóricas primitivas es también una hipotenusa pitagórica primitiva

Coincidencia en la parametrización de solución diofántica para ternas pitagóricas, etc.

Prueba que involucra triples pitagóricos primitivos

Encuentre exactamente 333 triples pitagóricos primitivos coincidentes para una hipotenusa dada