Evolución temporal de un qubit que comienza en un estado propio del eje x

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Evolución temporal de un qubit que comienza en un estado propio del eje x

Física
bloque-esfera
giro cuántico
evolución del tiempo
mecánica cuántica

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Supongamos que tengo un qubit inicial como el que se describe en la esfera de Bloch a continuación.

Además, denote el estado $|0\rangle \equiv |+\rangle$ . Así que mi estado inicial sería:

| ψ (0) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ - | - ⟩)

$|\psi(0)\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle-|-\rangle)$

Ahora supongamos que aplico un campo magnético $\vec{B}(t)=B_0\cos(\omega t)\hat{k}$ . Así el hamiltoniano de mi sistema sería:

\hat{H} = - \hat{\vec{m}} \cdot \hat{\vec{B}} = - γ B_{0} porque (ω t) \hat{S_{z}}

$\hat{H}=-\hat{\vec{\mu}}\cdot\hat{\vec{B}}=-\gamma B_0\cos(\omega t)\hat{S_z}$

dónde $\gamma$ denota la relación giromagnética y $\hat S_z$ es el $z$ Matriz de Pauli multiplicada por $\hbar/2$ . Mi objetivo es encontrar la probabilidad en función del tiempo de encontrar la partícula en el otro vector propio de $\hat S_x$ correspondiente al valor propio de $-\hbar/2$ cual es $|\alpha\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|-\rangle-|-\rangle)$ . Aquí está mi intento:

El operador de evolución es:

\begin{matrix} (*) & \hat{tu} (t; 0) = Exp (\frac{i}{ℏ} γ B_{0} porque (ω t) {\hat{S}}_{z} t) \end{matrix}

$\hat U(t;0)=\exp \bigg(\frac{i}{\hbar}\gamma B_0 \cos (\omega t)\hat S_z t\bigg) \tag{*}$

Por lo tanto, el estado que depende del tiempo viene dado por:

| ψ (t) ⟩ = \hat{tu} (t; 0) | ψ (0) ⟩ = Exp (\frac{i}{ℏ} γ B_{0} porque (ω t) {\hat{S}}_{z} t) \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ - | - ⟩)

$|\psi(t)\rangle=\hat U(t;0)|\psi(0)\rangle=\exp \bigg(\frac{i}{\hbar}\gamma B_0 \cos (\omega t)\hat S_z t\bigg)\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle-|-\rangle)$

que en la base propia de $\hat S_z$ se traduce a:

| ψ (t) ⟩ = \frac{Exp (\frac{i γ B_{0} C o s (ω t) t}{2})}{\sqrt{2}} [| + ⟩ + Exp (- i γ B_{0} porque (ω t) t) | - ⟩]

$|\psi(t)\rangle=\frac{\exp\bigg(\frac{i\gamma B_0cos(\omega t)t}{2}\bigg)}{\sqrt{2}} \bigg[|+\rangle+\exp\bigg(-i\gamma B_0 \cos(\omega t)t\bigg)|-\rangle \bigg]$

Finalmente la probabilidad de encontrar la partícula en el estado $|\alpha\rangle$ es:

{PAG}_{α} (t) = | ⟨ α | ψ (t) ⟩ |^{2} = (. . .) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} porque [γ B_{0} porque (ω t) t]

$P_\alpha (t)=|\langle \alpha |\psi(t)\rangle|^2=(...)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos\bigg[\gamma B_0 \cos(\omega t)t]$

Ahora aquí está mi pregunta:

De un rápido "jugar con un software de gráficos, vemos que la función es algo como la imagen de abajo.

Así que vemos que el comportamiento en la esfera de bloch sería bastante errático, comenzando por tambalearse alrededor del estado propio en el que comenzó pero cambiando rápidamente al polo opuesto de la esfera y sigue cambiando entre polos a un ritmo cada vez mayor. ¿Por qué este comportamiento es así? Mi intuición sería: si comenzó en un estado propio, debería permanecer en él para siempre, ¿están mal mis cálculos? ¿La base que elegí se refleja en el resultado? Si es así, ¿cómo debería haber procedido?

Respuestas (3)

Evolución temporal de un qubit que comienza en un estado propio del eje x

Norberto Schuch · Answer 1

Un punto clave que las otras respuestas pasan por alto: ¡su ecuación (*) que da la evolución del tiempo es incorrecta! Para un hamiltoniano dependiente del tiempo, debe integrar la ecuación de Schroedinger, que es más complicada que simplemente dar un exponencial de $iHt$ . Por lo tanto, su resultado final es incorrecto.

Ni siquiera me di cuenta de eso... ¿Podrían ayudarme a resolverlo? Esto es de mis estudios sobre QM I, donde tratamos solo con hamiltonianos independientes del tiempo, por lo que no tengo idea de cómo resolver la ecuación, eso es material para QM II.
@Bidon Tendrás que estudiar cómo lidiar con hamiltonianos dependientes del tiempo. Este es un tema que está bien cubierto en la mayoría de los libros de texto.

Hari · Answer 2

"Si comenzó en un estado propio, debería permanecer en él para siempre, ¿están mal mis cálculos?" - El estado con el que comenzaste no es un estado propio del hamiltoniano. Esto también queda claro a partir del resultado que obtuvo después de la evaluación del estado de evolución temporal. Si su campo magnético hubiera estado en el $\hat{i}$ dirección, entonces el estado inicial sería un estado propio y habría permanecido en ese estado.

Todo el problema está relacionado con el caso de las oscilaciones de Rabi, donde un sistema de dos niveles oscila entre estados propios (del hamiltoniano no perturbado) después de la introducción de términos no diagonales en el hamiltoniano.

"El estado con el que empezaste no es un estado propio del hamiltoniano" Debería haberlo visto, me siento estúpido por no haberlo visto... Pero es la primera vez que oigo hablar de las oscilaciones de Rabi. ¿Podría vincularme a algún material un poco más ligero que wikipedia? Si no ignora esto. Está bien
Este es un enlace útil pero implica muchas matemáticas: ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/…

francesco bernardini · Answer 3

El estado inicial es un estado propio de $S_x$ , por lo que no es un estado propio del hamiltoniano (que es proporcional a $S_z$ ); por lo tanto, el espín precederá alrededor de la dirección del campo (es decir, el $z$ eje) la mitad del tiempo en el sentido de las agujas del reloj (cuando $\cos \omega t>0$ ) y la otra mitad en sentido antihorario.

Si el campo fuera constante, la probabilidad habría sido simplemente una función sinusoidal periódica del tiempo, pero debido a los cosenos anidados, el perfil es un poco más complicado y menos intuitivo; primero puede tratar de averiguar qué sucede con un campo B constante en la dirección z, y luego tratar de mejorar su intuición imaginando que el campo B decae a cero a algún ritmo y luego va a -B st al mismo ritmo;

Tiene razón al decir que si comenzó como un estado propio del hamiltoniano, permanecería en ese estado, pero este no es el caso;

Evolución temporal de un qubit que comienza en un estado propio del eje x

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