Soluciones pares e impares de la ecuación de Schrödinger

Las soluciones pares e impares surgen de la siguiente manera. Suponer$\psi_1(x)$es una solucion a

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1(x)}{dx^2}+V(x)\psi_1(x)=E_1\psi_1(x)$$ y hacer el cambio $x\to -x$en todos lados. Entonces $$\frac{d}{d(-x)}=-\frac{d}{dx}\, ,\qquad \frac{d^2}{d(-x)^2} =\frac{d^2}{dx^2}$$ entonces obtenemos $$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1(-x)}{dx^2}+V(-x)\psi_1(-x)=E_1\psi_1(-x)$$ Si tu potencial es simétrico, entonces $V(-x)=V(x)$y puedes ver eso $\psi_2(x):=\psi_1(-x)$es también solución al problema para el mismo potencial. Desde $\psi_1(x)$y $\psi_2(x)$tienen el mismo valor propio $E_1$, entonces es fácil ver que $$\phi(x)=A\psi_1(x)+B\psi_2(x)=A\psi_1(x)+B\psi_1(-x)$$
es también una solución con energía $E_1$. La solución pareja es la elección. $A=B$: en este caso $\phi_+(x)=A (\psi_1(x)+\psi_1(-x))=\phi_+(-x)$, definiendo una función par. La extraña solución $\phi_-(x)$se obtiene usando $B=-A$; satisface $\phi_-(-x)=-\phi_-(x)$. Así, en un potencial simétrico para el cual $V(x)=V(-x)$, siempre es posible encontrar soluciones pares o impares al problema.

En su caso específico, es mejor que comience con

$$\psi(x)=\left\{\begin{array}{ll} A\sin(k(x+L))&\hbox{if }x<0\, ,\\ B\sin(k(x-L))&\hbox{if }x>0\, .\end{array}\right.$$ Este formulario garantiza $\psi(-L)=\psi(L)=0$si tus paredes están en $x=\pm L$. Probablemente pueda expandir el argumento de cada seno para obtener una combinación de seno y coseno, pero esta forma hace que sea obvio que satisfará las condiciones de contorno.

La paridad de la solución vendrá cuando relaciones$A$y$B$. Por ejemplo, tomando$x\to -x$cambios$A\sin(k(x+L))\to A\sin(k(-x+L))=-A(\sin(k(x-L))$mientras$B\sin(k(x-L))\to -B\sin(k(x+L))$entonces la solución par es con$B=-A$. Entonces necesitas encontrar$k$utilizando la discontinuidad de las derivadas