¿Cuáles son los estados de energía de una partícula en un pozo de potencial delta V(x)=−δ(x)V(x)=−δ(x)V(x)=-\delta(x)?

Estás dado que el potencial es de forma$V(x) = -\delta(x)$, y por lo tanto está centrado en cero. Ahora, lo que puede hacer es considerar cada región que el potencial "separa" por separado (a saber, región donde$x>0$y$x<0$), calcule la solución general con algunos coeficientes y encuentre esos coeficientes usando la definición del potencial. Considere la región donde ($x<0$), aquí el potencial es exactamente$0$, la ecuación de Schodinger se reduce a

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi_1 = E\psi_1$$ cuya solución general es simplemente: $\psi_1 = Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}$para $\kappa = \sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}}$, pero, dado que el potencial es negativo y para que el estado propio de energía esté ligado, la energía debe ser negativa, el coeficiente $\kappa$es real: $\kappa\in\mathbb{R}$. Para que la función de onda sea normalizable (y por lo tanto posible solución), $\lim_{x\rightarrow -\infty} \psi_1 = 0$y por lo tanto $B=0$

Repitiendo el mismo proceso para la región donde$x>0$, se obtiene la siguiente función de onda:$\psi_2 = Ce^{\kappa x} + De^{-\kappa x}$. Del mismo modo, debido a la normalización,$C=0$de este modo$\lim_{x\rightarrow \infty} \psi_2(x) = 0$

Ahora la pregunta es, ¿cómo relacionarlos?, bueno, ya conoces la forma del potencial, entonces, la forma general de la ecuación de Schrödinger para este problema es simplemente:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) - \delta(x)\psi(x)= E\psi(x)$$ Pero dado que el potencial está centrado en cero (si el hecho tiene un valor distinto de cero solo en $x=0$), se puede integrar en el intervalo $[-\epsilon,\epsilon]$como $\epsilon\rightarrow 0$: $$-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \frac{d\psi'}{dx} dx - \psi(0) \approx E\psi_{average}(x)\epsilon = 0$$ Lo que nos da la discontinuidad de la derivada de la función de onda: $$\psi'(\epsilon) - \psi'(-\epsilon) = -\frac{2m}{\hbar^2}\psi(0)\tag{D.1}$$ Pero ya conoces la forma general de cada solución en cada región, en concreto: $\psi_1(x)$para $x<0$y $\psi_2(x)$para $x>0$, y la ecuación $\text{D.1}$relaciona las derivadas de esas funciones. Calculando las derivadas se obtiene: $$\psi_1'(x) = A\kappa e^{\kappa x} \\ \psi_2'(x) = -D\kappa e^{-\kappa x}$$ Usando la discontinuidad de la derivada: $$\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \psi'(\epsilon) - \psi'(-\epsilon) = \psi_2'(0) - \psi_1'(0) = -\frac{2m}{\hbar^2}\psi_1(0) = -\frac{2m}{\hbar^2}\psi_2(0)$$ Pero desde $\psi_1(0) = A$, y $\psi_2(0) = B$, y de la ecuación anterior (y la continuidad de la función de onda) $A=B$, solo nos referiremos a $A$. Por lo tanto, la ecuación anterior se convierte en: $$2\kappa A = \frac{2m}{\hbar^2}A \rightarrow \kappa = \frac{m}{\hbar^2}$$ Lo que le da el valor propio de energía para esta función de onda unida: $$E = -\frac{m}{2\hbar^2}$$ y el estado propio de energía es: $\psi_1(x) = Ae^{\kappa x}$para $x<0$y $Ae^{-\kappa x}$para $x>0$lo que equivale a lo siguiente: $$\psi(x) = Ae^{-\kappa |x|}$$ Dado que esta ecuación no tiene ceros/nodos, este estado propio de energía es el estado fundamental. Desde $n$-th autoestado de energía tiene $n-1$ceros, $2$El estado propio de energía debe tener exactamente $1$cero, consideremos cuál sería la consecuencia de $\exists x\in\mathbb{R}: \psi(x) = 0$. Hay tres posibilidades, a saber $\psi(x)=0$en cualquiera

• $x=0$
• $-x\in\mathbb{R}^+$
• $x\in\mathbb{R}^{+}$

Consideremos cada caso por separado: si$\psi(0)$es cero, eso significaría que la discontinuidad de la derivada de la función de onda (ecn.$\text{D.1}$) es igual a cero, lo que equivale a decir:$\kappa=0 \rightarrow E=0$, es decir, la partícula no existe, por lo que podemos concluir que si el cero existe, no se encuentra en$x=0$.

Considere el caso cuando$-x\in\mathbb{R}^+$, o región donde$x<0$, aquí la solución general para una función de onda es$\psi_1(x) = Ae^{\kappa x} + Be^{-\kappa x}$. Para que tenga un cero en esta región$Ae^{\kappa x}+ Be^{-\kappa x}=0$para algunos$x$, lo que implica que$B\neq0$, y por lo tanto

$$\lim_{x\rightarrow -\infty} \psi_1(x) = \lim_{x\rightarrow -\infty} Be^{-\kappa x} \neq 0$$ lo que evita que la función de onda sea normalizable.

Repitiendo un proceso similar para la región$x\in\mathbb{R}^+$o$x>0$, da la misma respuesta: la existencia de cero implica la no normalización de la función de onda, por lo tanto, para que exista una función de onda ligada, debe cumplirse la siguiente condición$\forall x\in\mathbb{R}: \psi(x)\neq 0$, lo que demuestra que la función de onda del estado fundamental es solo un estado propio de energía ligada posible.

Desde arriba, es evidente que para este potencial solo hay un estado propio de energía ligada, a saber$\psi(x)= Ae^{-|\kappa x|}$con valor propio de energía$E=-\frac{m}{2\hbar^2}$

---

Apéndice: Solución del coeficiente de proporcionalidad$A$

Ahora, dado que conocemos la forma de la función de onda del estado fundamental, podemos calcular el coeficiente de proporcionalidad$A$de la condición de normalización:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \overline{\psi}(x)\psi(x) dx = A^2\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2|\kappa x|} dx =\\ A^2\left(\int_{-\infty}^{0} e^{2\kappa x} dx + \int_{0}^{\infty} e^{-2\kappa x} dx\right) = \frac{A^2}{\kappa} = 1$$ Lo que da: $A = \kappa^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{m}{\hbar^2}}$, y la función de onda del estado fundamental toma la siguiente forma: $$\psi(x) = \sqrt{\frac{m}{\hbar^2}}e^{-|\kappa x|}$$

---

Nota: para evitar sobrecargar el texto con derivados, aquí any para cualquier función arbitraria $f(x)$de variable $x$, su derivada $\frac{df(x)}{dx}$se denota por $f'(x)$.

Estás muy cerca. Creo que lo que te estás perdiendo es que estás buscando un estado enlazado, así que$E<0$, por lo tanto, alfa es imaginario, lo que hace que sus exponenciales en su superposición sean reales decaimientos/crecimientos exponenciales en lugar de términos que oscilan hasta el infinito.

Dos de estos términos divergen hacia$\pm\infty$, por lo que la única forma en que su integral convergerá es si los coeficientes de esos términos son cero. Te quedan 2 coeficientes, el requisito de "psi es continuo" y el requisito de normalización. Las integrales convergen muy bien, son solo matemáticas desde aquí.