Estados estacionarios de un prisma triangular

Necesito encontrar las funciones de onda de los estados estacionarios de un pozo de potencial cuadrado 3d con sus límites definidos por un prisma triangular, como el que se ilustra en la página de wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_prism

Prisma triangular

El pozo de potencial (visto en una sección transversal 1-d) es un pozo de potencial cuadrado simple y puede ser finito (0 afuera, -V adentro) o infinito (0 adentro, ∞ afuera), ambas serían aproximaciones razonables para mis propósitos .

Es decir, el potencial es algo así en la sección transversal, pero su forma tridimensional completa es la del prisma triangular:

sección transversal potencial

[Cualquier solución para una aproximación cercana de esta geometría también puede ser útil (por ejemplo, si el problema es más fácil de resolver para un prisma con una sección transversal triangular de Reuleaux en lugar de equilátero, o para un potencial bien descrito por una función continua o algo, puede estar lo suficientemente cerca).]

Debido a la simetría reducida en comparación con los casos cilíndricos o esféricos de los libros de texto, no estoy seguro de cómo abordar esto.

¿Alguien puede indicarme la dirección de una solución? ¡Muchas gracias!

¿Has leído esto en.wikipedia.org/wiki/Airy_function . Esto podría no tener ningún valor si es 1D, pero si es una función 3D, podría darle alguna pista sobre el sistema de coordenadas correcto que debe usar.
Tengo, estas son las soluciones para un potencial triangular, ¿verdad? Mi potencial es cuadrado, pero el volumen que define sus límites es un prisma triangular. Edité la publicación original para ser más clara, ¡gracias!
En la dirección axial, al menos, debería ser una solución simple de partículas en una caja. Para los otros dos componentes, ¿tal vez el hecho de que el hamiltoniano sea invariante bajo rotaciones de 120 grados significa que los estados propios también tienen esta simetría hasta una constante?
No estoy seguro. Debido a la simetría de los problemas esféricos y cilíndricos, las partes radial y angular pueden separarse, pero en este caso no estoy seguro de que puedan hacerlo: el potencial radial cambia en su ancho con el ángulo, y también lo hace el centro del triángulo. no coincidir con el centro del pozo.
Eche un vistazo a esto aquí: en.wikipedia.org/wiki/File:TriangleBarycentricCoordinates.svg Me imagino que el estado fundamental seguramente tendrá la amplitud máxima en el punto (1/3, 1/3, 1/3), pero esto es 2/3 a lo largo de la sección transversal 1-D. Esta falta de simetría es lo que creo que complica más el problema.
Lo siento, me acabo de dar cuenta de que no leí tu respuesta correctamente, ¡especificaste la dirección axial!

Respuestas (1)

No estoy seguro del caso con una profundidad de pozo finita, pero si las paredes son infinitamente duras, este problema se puede resolver exactamente. La solución está detallada en los documentos.

Otros documentos con soluciones relevantes están aquí , aquí y aquí .

La pérdida de simetría rotacional continua significa que necesita resolver completamente una EDP bidimensional, pero la simetría discreta ayuda, ya que se requiere que las soluciones lleven representaciones de la D 3 grupo de simetria Esto significa que existen relaciones estrictas entre los valores de las funciones propias en los diferentes bordes, y se pueden explotar para "unir" varias copias del dominio para formar una región invariante en la traducción.

y, por lo tanto, espera que las soluciones sean exponenciales de ondas planas en esa región expandida, que luego se proyectan hacia abajo a sumas de exponenciales en el interior del triángulo.

No estoy seguro de hasta qué punto esos métodos se trasladan a la versión de profundidad finita del pozo, este documento usa la diagonalización numérica para resolver el problema, y ​​buscar en Google "punto cuántico triangular" (probablemente el punto de partida más útil) no Inmediatamente produce algo prometedor, y ninguno de ellos es un buen augurio para la existencia de soluciones cerradas. (Lo mismo ocurre con su ausencia en esta revisión ). Dado que afirmas que el problema de las paredes infinitas está bien para tus propósitos, te animo a que te limites a eso.

Probablemente podría seguir el argumento de los artículos que mencionaste simplemente usando la separación de variables para el caso de la pared infinita. Muy buen artículo, por cierto. Supuse que alguien lo habría solucionado.
@Vendetta Las referencias citadas parecen afirmar que los estados propios no son separables, por lo que es probable que sea un poco más complicado que eso, pero en última instancia, si las personas quieren las soluciones explícitas, entonces existe el rastro de referencia y depende de ellos para perseguirlo.
Las direcciones x e y no son separables, pero me refería a la dirección z.
@EmilioPisanty El enlace al artículo de JMP se envía a su biblioteca en lugar de a la revista. Si puedo: este es el tipo de respuesta fantástica que me mantiene en PhysicsSE.
Mmm. Tal vez podrías generalizar su método para cualquier triángulo, ya que este tipo de mosaico se puede hacer para cualquier triángulo (siempre puedes usar dos triángulos para hacer un paralelogramo, como muestran las fotos), solo deformas la simetría, recuperando su relación en el caso equilátero. Esto ciertamente será significativo para el espectro y las funciones de onda, pero parece que gran parte de su método aún podría mantenerse. También usando esta línea de pensamiento, podría ser posible emplear tal razonamiento para el triángulo rectángulo isósceles fácilmente, ya que dos triángulos forman un potencial cuadrado.
Bueno... Esto probablemente se hizo antes, como todas las ideas que tengo.
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