QM: Cuadrado de potencial finito bien resuelto sin suposición de simetría

como sugiere el título, estoy tratando de encontrar bien la solución del potencial finito, sin usar la simetría impar/par del potencial.

$$V(x) = \begin{cases} 0 & \text{otherwise} \\ -V_{0} & \text{-a $\leq$ x $\leq$ a} \\ \end{cases}$$

que tiene soluciones

$$\psi(x) = \begin{cases} \psi_{1}(x) = Ae^{\kappa x} + Be^{-\kappa x} & \text{x < -a} \\ \psi_{2}(x) = Ee^{ikx} + Fe^{-ikx} & \text{-a $\leq$ x $\leq$ a} \\ \psi_{3}(x) = Ce^{\kappa x} + De^{-\kappa x} & \text{x > a}\\ \end{cases},$$ con $\kappa = \sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^{2}}}$y $k = \sqrt{\frac{2m(E+V_{0})}{\hbar^{2}}}$.

Como de costumbre, establecemos$B=0$y$C=0$, para que la función aún se pueda normalizar. Entonces usamos la continuidad en$-a$,$a$de$\psi(x)$y su derivado$\psi'(x)$, dando:

$$\begin{align} \psi_{1}(-a) &= \psi_{2}(-a)\quad \rightarrow\quad Ae^{-\kappa a} = Ee^{-ika} + Fe^{ika} \\ \psi_{1}'(-a) &= \psi_{2}'(-a)\quad \rightarrow\quad \kappa Ae^{-\kappa a} = ik(Ee^{-ika} - Fe^{ika}) \end{align}$$ y $$\begin{align} \psi_{2}(a) &= \psi_{3}(a)\quad \rightarrow \quad Ee^{ika} + Fe^{-ika} = De^{-\kappa a} \\ \psi_{2}'(a) &= \psi_{3}'(a)\quad \rightarrow \quad ik(Ee^{ika} - Fe^{-ika}) = -\kappa De^{-\kappa a} \end{align}$$

A partir de aquí es básicamente donde comienza mi lucha. He intentado varias formas de sumar, restar y dividir las ecuaciones, pero nunca se me ocurrió$\kappa = k\tan(ka)$(o$\kappa = -k\cot(ka)$).

¿Puede alguien darme una pista sobre cómo resolver este conjunto de ecuaciones?

EDITAR:

Si quisiera resolver la normalización, es decir

$$\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi(x)|^{2}}dx=1 ,$$

¿Como podría hacerlo? Porque parece que, después de resolver las ecuaciones en la medida de lo posible, sigo atascado con las DOS constantes

$$E$$ y $$F.$$