Resolviendo la ecuación radial cuántica para un anillo esférico de potencial infinito para l=0l=0l=0

Question

Resolviendo la ecuación radial cuántica para un anillo esférico de potencial infinito para l=0l=0l=0

usuario37460

hay una masa $m$ en un potencial tal que

V (r) = {\begin{array}{lr} 0, & a \leq r \leq b \\ \infty, & en todos lados \end{array}

$V(r) = \left\{ \begin{array}{lr} 0, & a \leq r \leq b\\ \infty, & \text{everywhere else} \end{array} \right.$ Estoy buscando para encontrar la solución

u (r)

$u(r)$ a la ecuación radial

- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} {tu}^{''} (r) + (V (r) + \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{yo (yo + 1)}{r^{2}}) tu (r) = mi tu (r)

$-\frac{\hbar^2}{2m} u^{\prime \prime}(r) + \bigg( V(r) + \frac{\hbar^2}{2m} \frac{l(l+1)}{r^2}\bigg) u(r) = E\, u(r)$ en el caso

l = 0

$l=0$ .

$\textbf{Progress so far}$

Mirando la región con potencial cero, y dejando $l=0$ , defino

k \equiv \frac{\sqrt{2 metro mi}}{ℏ}

$k \equiv \frac{\sqrt{2mE}}{{\hbar}}$ por lo que tengo la ecuación diferencial de segundo orden

{tu}^{''} (r) = - k^{2} tu (r)

$u^{\prime \prime}(r) = - k^2 u(r)$ que tiene la solucion

tu (r) = A pecado (k r) + B porque (k r)

$u(r) = A \sin(kr) + B \cos( kr)$ El potencial es tal que las condiciones de contorno son

tu (a) = tu (b) = 0

$u(a) = u(b) = 0$

A pecado (k a) + B porque (k a) = A pecado (k b) + B porque (k b)

$A \sin(ka) + B \cos(ka) = A \sin(kb) + B \cos(kb)$ Parece que, dado que, por ejemplo,

\sin (k b) = \sin (k a)

$\sin(kb) = \sin(ka)$ ,

k b = k a + 2 π norte

$kb = ka + 2\pi n$ Pero esto debe estar mal porque, por ejemplo,

pecado (\frac{2 π norte a}{b - a}) \neq 0 .

$\sin\bigg (\frac{2 \pi n a}{b - a} \bigg ) \neq 0 .$ ¿Alguien podría decirme dónde me equivoqué al encontrar

k ?

$k?$

Respuestas (2)

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Ruslán · Answer 1

Tu ecuación radial está mal formulada. Parece una ecuación para el espacio 1D plano, que carece de un término de primera derivada, que surge de las coordenadas esféricas jacobianas.

En lugar de postular la ecuación, como parece haberlo hecho, derivémosla. Usaré unidades tales que $\frac{\hbar^2}{2m}=1$ , para que las ecuaciones se vean más simples, deberías poder reproducirlas con tus unidades.

Entonces, la ecuación de Schrödinger para una partícula en un potencial esféricamente simétrico $V(r)$ con $r=|\vec x|$ es:

- \nabla^{2} Ψ (\vec{X}) + V (r) Ψ (\vec{X}) = mi Ψ (\vec{X})

$-\nabla^2\Psi(\vec x)+V(r)\Psi(\vec x)=E\Psi(\vec x)$

Como su potencial es esféricamente simétrico, podemos hacer uso de esta simetría y cambiar a coordenadas esféricas. Nuestro Laplaciano se vería así :

\nabla^{2} F = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial F}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} pecado θ} \frac{\partial}{\partial θ} (pecado θ \frac{\partial F}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} {pecado}^{2} θ} \frac{\partial^{2} F}{\partial ϕ^{2}}

$\nabla^2 f=\frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac1{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)+\frac1{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial\phi^2}$

Con tal laplaciano, nuestra ecuación de Schrödinger es separable, por lo que podemos buscar la solución en la forma de $\Psi(r,\theta,\phi)=u(r)v(\theta,\phi)$ .

Sustituyéndolo en la nueva fórmula de Laplaciano, tenemos:

\nabla^{2} Ψ (r, θ, ϕ) = v (θ, ϕ) \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial tu (r)}{\partial r}) + tu (r) \frac{1}{r^{2} pecado θ} \frac{\partial}{\partial θ} (pecado θ \frac{\partial v (θ, ϕ)}{\partial θ}) + + tu (r) \frac{1}{r^{2} {pecado}^{2} θ} \frac{\partial^{2} v (θ, ϕ)}{\partial ϕ^{2}}

$\nabla^2\Psi(r,\theta,\phi)=v(\theta,\phi)\frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u(r)}{\partial r}\right)+u(r)\frac1{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial v(\theta,\phi)}{\partial \theta}\right)+\\+u(r)\frac1{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 v(\theta,\phi)}{\partial\phi^2}$

O, denotando la parte radial de Laplaciano con $-\hat R$ y ángulo parte con $-\hat L^2/r^2$ , tenemos:

\nabla^{2} Ψ (r, θ, ϕ) = - v (θ, ϕ) \hat{R} tu (r) - tu (r) \frac{{\hat{L}}^{2} v (θ, ϕ)}{r^{2}}

$\nabla^2\Psi(r,\theta,\phi)=-v(\theta,\phi)\hat R u(r)-u(r)\frac{\hat L^2v(\theta,\phi)}{r^2}$

Ahora podemos escribir nuestra ecuación de Schrödinger como:

v (θ, ϕ) \hat{R} tu (r) + tu (r) \frac{{\hat{L}}^{2} v (θ, ϕ)}{r^{2}} + V (r) tu (r) v (θ, ϕ) = mi tu (r) v (θ, ϕ)

$v(\theta,\phi)\hat R u(r)+u(r)\frac{\hat L^2v(\theta,\phi)}{r^2}+V(r)u(r)v(\theta,\phi)=Eu(r)v(\theta,\phi)$

Multiplica ambos lados por $\frac{r^2}{u(r)v(\theta,\phi)}$ y reordenar los términos:

- \frac{r^{2} \hat{R} tu (r)}{tu (r)} - V (r) + mi = \frac{{\hat{L}}^{2} v (θ, ϕ)}{v (θ, ϕ)}

$-\frac{r^2\hat Ru(r)}{u(r)}-V(r)+E=\frac{\hat L^2v(\theta,\phi)}{v(\theta,\phi)}$

Ahora que hemos separado las variables radiales de las angulares, introducimos una constante de separación, que escribiremos como $l(l+1)$ . es un valor propio de $\hat L^2$ operador (y las funciones propias son armónicos esféricos ). Ahora, multiplicando todo por $u(r)/r^2$ , tenemos:

\hat{R} tu (r) + V (r) tu (r) + \frac{yo (yo + 1)}{r^{2}} tu (r) = mi tu (r),

$\hat Ru(r)+V(r)u(r)+\frac{l(l+1)}{r^2}u(r)=Eu(r),$

o, finalmente, escribir la expresión para $\hat R$ ,

- \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial tu (r)}{\partial r}) + V (r) tu (r) + \frac{yo (yo + 1)}{r^{2}} tu (r) = mi tu (r) .

$-\frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u(r)}{\partial r}\right)+V(r)u(r)+\frac{l(l+1)}{r^2}u(r)=Eu(r).$

Esta es la ecuación que deberías intentar resolver (hasta unidades). Ahora su solución debe ser en términos de funciones esféricas de Bessel .

usuario37467 · Answer 2

¿Por qué podríamos concluir de $\sin\left(\frac{2 \pi n a}{b-a}\right)\neq0$ que el valor de $k$ ¿Es incorrecto? Por el contrario, creo que la conclusión es parcialmente correcta. De hecho, podemos reescribir $A\sin(k x)+B\cos(k x)=C\sin(k x + \delta)$ para simplificar la condición de contorno. Así es evidente que $k= \frac{n \pi}{b-a}$ .

Sí, la solución que buscas es $tu (X) = C pecado (\frac{norte π (X - a)}{b - a}) .$ $u(x)=C\,\sin\left(\frac{n\pi(x-a)}{b-a}\right).$

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usuario37460

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Ruslán

usuario37467

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