¿Solución de la ecuación de Schrödinger para el potencial de caja constante?

La ecuación se convertirá

$$- \frac{\hbar}{2m} \bigg( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{ \partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \bigg) \psi(x,y,z) = (E-V_0) \psi(x,y,z)$$ Y las soluciones son las mismas: $$\psi_{n_x, n_y, n_z} (x,y,z) = C \sin( \frac{n_x \pi x}{L}) \sin (\frac{n_y \pi y}{L}) \sin(\frac{n_z \pi z}{L}).$$ y energía: $$(E_n - V_0) = \frac{\hbar^2\pi^2} {2mL^2}n^2$$ $$E_n = \frac{\hbar^2\pi^2} {2mL^2}n^2 + V_0$$
Camino a la solución:

Por separación de variables:

$$\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} + \frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} = -\frac{2m}{\hbar^2}(E-V_0)$$ $$\frac{d^2X}{dx^2} = -k_x^2X; \frac{d^2Y}{dy^2} = -k_y^2Y; \frac{d^2Z}{dz^2} = -k_z^2Z$$ con $$(E_n - V_0) = \frac{\hbar^2} {2m}(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2)$$ Solución:
$X(x) = A_x\sin k_xx + B_x\cos k_xx$etcétera.
como siempre, $B = 0$porque $X(0) = 0$debido al potencial infinito en las fronteras.
también, $X(L) = 0$(potencial infinito) significa $\sin k_xL = 0$o
$k_x = n_x\pi/L$y así con los demás.
Así que sigue igual: $$\psi_{n_x, n_y, n_z} (x,y,z) = A_xA_yA_z \sin( \frac{n_x \pi x}{L}) \sin (\frac{n_y \pi y}{L}) \sin(\frac{n_z \pi z}{L}).$$ $$\psi_{n_x, n_y, n_z} (x,y,z) = C \sin( \frac{n_x \pi x}{L}) \sin (\frac{n_y \pi y}{L}) \sin(\frac{n_z \pi z}{L}).$$ $$(E_n - V_0) = \frac{\hbar^2\pi^2} {2mL^2}(n_x^2+n_y^2 + n_z^2)$$