Eventos distantes y simultaneidad [cerrado]

Question

Eventos distantes y simultaneidad [cerrado]

AgentRev

He estado jugando con este problema durante un par de horas y me estoy confundiendo más a medida que pasa el tiempo, así que tengo un par de preguntas. Aquí va:

Un evento $A$ tiene lugar en el origen de la $S$ marco en $t = 0$ . otro evento $B$ tiene lugar 10 segundos después, situado $2.5\times 10^9\,\text{m}$ lejos de $A$ . Encuentre la velocidad de $S'$ relativo a $S$ por lo que los acontecimientos $A$ y $B$ :

(a) tener lugar en el mismo punto

(b) tener lugar simultáneamente

(c) En el caso de (a), ¿cuál es la $t'$ retraso entre $A$ y $B$ ?

Lo que tengo hasta ahora:

\begin{aligned} V & = \frac{Δ X}{C Δ t} C \\ = \frac{2.5 \times 10^{9}}{(3 \times 10^{8}) \cdot 10} C \\ \approx 0.833 C \end{aligned}

$\begin{align*} V &= \frac{\Delta x}{c\Delta t}\,c \\ &= \frac{2.5\times 10^9}{\left(3\times 10^8\right)\cdot 10}\,c \\ &\approx 0.833\,c \end{align*}$

\begin{aligned} γ & = {(1 - V^{2})}^{- 1 / 2} \\ \approx {(1 - {0.833}^{2})}^{- 1 / 2} \\ \approx 1.809 \end{aligned}

$\begin{align*} \gamma &= \left(1-V^2\right)^{-1/2} \\ &\approx \left(1-0.833^2\right)^{-1/2} \\ &\approx 1.809 \end{align*}$

\begin{aligned} t^{'} & = γ (t - V X) \\ t_{B}^{'} & \approx 1.809 (10 - 0.833 (\frac{2.5 \times 10^{9}}{3 \times 10^{8}})) \\ \approx 5.528 s \end{aligned}

$\begin{align*} t' &= \gamma\left(t-Vx\right) \\ t'_B &\approx 1.809\left(10-0.833\left(\frac{2.5\times 10^9}{3\times 10^8}\right)\right) \\ &\approx 5.528\,\text{s} \end{align*}$

Mis problemas:

¿Cuál es la forma correcta de encontrar $t'_A$ ? Usando cinemática encontré que $t_A \approx 9.167\,\text{s}$ , de este modo $x_A \approx 9.167\,c$ , por lo tanto $t'_A\approx 2.764\,\text{s}$ . Por $t_A$ , me refiero a la hora en que ese evento $A$ tarda en llegar a la ubicación (en movimiento) de $B$ fuente de ¿Estoy completamente fuera de lugar, o es lo correcto?
Para (a), ¿cuál sería su interpretación de "en el mismo punto"? No estoy seguro de lo que representa un "punto" aquí, además de "ubicación", y tener $A$ y $B$ en el mismo lugar no tendría mucho sentido para esa pregunta. ¿Tal vez significa "con los parámetros anteriores"? No se.
Para (b), ¿sería en el contexto de $S$ o $S'$ ? Como en, $t_A = t_B$ , o $t'_A = t'_B$ ?

Muchas gracias.

Stuckelberator

Creo que solo tienes que tomar las transformaciones de Lorentz.

c Δ t^{'} = γ c Δ t - γ v Δ x

$c\Delta t'=\gamma c\Delta t-\gamma v \Delta x$ y

Δ x^{'} = - γ v c Δ t + γ Δ x

$\Delta x'=-\gamma v c\Delta t+\gamma\Delta x$ y para a) estableces

Δ x^{'} = 0

$\Delta x'=0$ b)

Δ t^{'} = 0

$\Delta t'=0$ .

Stuckelberator

también para c) sabes cómo encontrar

Δ t^{'}

$\Delta t'$ si tienes la velocidad del marco S'.

Stuckelberator

Realmente lo siento por el spam. en lugar de

v

$v$ me refería

β

$\beta$ , pero puedes usar c=1 unidades para deshacerte de eso.

Respuestas (1)

Eventos distantes y simultaneidad [cerrado]

Creo que solo tienes que tomar las transformaciones de Lorentz. $c\Delta t'=\gamma c\Delta t-\gamma v \Delta x$ y $\Delta x'=-\gamma v c\Delta t+\gamma\Delta x$ y para a) estableces $\Delta x'=0$ b) $\Delta t'=0$ .
también para c) sabes cómo encontrar $\Delta t'$ si tienes la velocidad del marco S'.
Realmente lo siento por el spam. en lugar de $v$ me refería $\beta$ , pero puedes usar c=1 unidades para deshacerte de eso.

Lesnik · Answer 1

Primero tratemos con "¿Qué significa 'en el mismo punto'?" pregunta. En realidad, esta pregunta tiene poco que ver con la teoría de la relatividad y puede discutirse en términos de mecánica habitual.

Imagine un tren, una vez por segundo, un hombre en un tren enciende y luego apaga una lámpara que está sobre su mesa. Entonces tenemos una serie de eventos "la lámpara está encendida". Debido a que el tren se está moviendo, estos eventos tienen diferentes coordenadas. ¡Pero esto es solo en el marco de referencia de una persona que se para en el suelo! En el marco de referencia de una persona que está en el tren, todos estos eventos suceden en el mismo punto. Justo aquí, frente a él, en una mesa.

Ahora volvamos a la pregunta (a). Si una persona comienza a viajar con una velocidad $V=5/6 c=0.833c$ en el punto y en el momento del evento A, llegaría a la ubicación del evento B en el momento adecuado. Observaría que los eventos A y B ocurrieron justo frente a él. En el mismo punto (en su marco de referencia).

Entonces, su respuesta a (a) parece correcta.

Ahora a la parte (c). Debido a que el tipo que viaja se mueve rápido, su tiempo va más lento. Una vez más, su respuesta es correcta. Según sus relojes el recorrido duró unos 5.528 segundos: $\Delta t'=\Delta t / \sqrt{1-v^2/c^2)}$

(Esto es más fácil de calcular que de entender. Sugiero buscar discusiones de Twin Paradox aquí en stackexchange)

Parte (b) ahora.

Es posible que para unos dos eventos $X$ y $Y$ en algún marco de referencia evento $X$ Sucedió antes y en algún otro evento del marco de referencia. $Y$ sucedió antes y, sin embargo, en algún otro marco de referencia, ambos eventos sucedieron simultáneamente. ¡Pero esto no es para todos los pares de eventos! Si realmente puedes viajar desde $X$ a $Y$ que en TODOS los marcos de evento de referencia $X$ sucedió antes del evento $Y$ .

Tenemos exactamente ese caso: es posible viajar de A a B. Entonces, en todos los marcos de referencia, A sucedió antes que B.

Más rigurosamente: intervalo de espacio-tiempo definido como $s^2 = \Delta r^2 - c^2 \Delta t^2$ entre dos eventos es siempre el mismo (en todos los marcos de referencia). Escribámoslo para dos marcos de referencia: el primero es donde ambos eventos sucedieron al mismo tiempo, el segundo es donde ambos eventos sucedieron en el mismo lugar:

Δ r_{1}^{2} - C^{2} Δ t_{1}^{2} = s^{2} = Δ r_{2}^{2} - C^{2} Δ t_{2}^{2}

$\Delta r_1^2 - c^2 \Delta t_1^2 = s^2 = \Delta r_2^2 - c^2 \Delta t_2^2$

Δ r_{1}^{2} = - C^{2} Δ t_{2}^{2}

$\Delta r_1^2 = - c^2 \Delta t_2^2$

Esto no puede sostenerse a menos que tengamos algunos períodos de tiempo o distancias complejos.

Gracias, entiendo (a) y (c) ahora. Los cálculos que escribí no eran realmente respuestas a las preguntas, más bien un análisis preliminar, pero supongo que de hecho coinciden con las respuestas para (a) y (c). En el caso de (b), ¿estás diciendo que es imposible? Estaba mirando este gif y me hizo pensar que tal vez (b) tiene que ver con una velocidad negativa.
Sí, (b) es imposible. El gif al que te refieres es agradable, pero no funciona para todos los pares de eventos. ¿Notaste que algunas partes del fondo son negras y otras grises? Hay una razón para eso. Para los eventos en el área negra, es imposible saber si sucedió antes o después del evento A. Depende del marco de referencia. El triángulo gris superior es futuro absoluto: cualquier evento en esta área sucedió después del evento A en cualquier marco de referencia. Y el triángulo gris inferior es el pasado absoluto. En el problema original, el evento B está en el área del "futuro absoluto" de A. No pueden ocurrir simultáneamente en ninguna ref. marco.

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