Suma alterna de cuadrados de coeficientes binomiales

$$(1+x)^n(1-x)^n=\left( \sum_{i=0}^n {n \choose i}x^i \right)\left( \sum_{i=0}^n {n \choose i}(-x)^i \right)$$

El coeficiente de$x^n$es$\sum_{k=0}^n {n \choose n-k}(-1)^k {n \choose k}$que es exactamente su suma.

Por otro lado:

$$(1+x)^n(1-x)^n=(1-x^2)^n=\left( \sum_{i=0}^n {n \choose i}(-1)^ix^{2i} \right)$$

Así, el coeficiente de$x^n$es$0$si$n$es raro o$(-1)^{\frac{n}2}{n \choose n/2}$si$n$incluso.

Aquí hay una prueba combinatoria.

Desde$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, podemos reescribir la suma como$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n}{n-k} (-1)^k$. Entonces$\binom{n}{k} \binom{n}{n-k}$se puede considerar como contar pares ordenados$(A,B)$, cada uno de los cuales es un subconjunto de$\{1, 2, \ldots, n\}$, tal que$|A| = k$y$|B| = n-k$. La suma, entonces, se toma sobre todos los pares tales que$|A| + |B| = n$.

Dado$(A,B)$, dejar$x$denota el elemento más grande en la diferencia simétrica $A \oplus B = (A - B) \cup (B - A)$(suponiendo que tal elemento exista). En otras palabras,$x$es el elemento más grande que está exactamente en uno de los dos conjuntos. Luego define$\phi$ser el mapeo que se mueve$x$al otro conjunto. los pares$(A,B)$y$\phi(A,B)$tienen diferentes signos y$\phi(\phi(A,B)) = (A,B)$, entonces$(A,B)$y$\phi(A,B)$se cancelan entre sí en la suma. (La función$\phi$es lo que se conoce como involución de inversión de signo ).

Entonces el valor de la suma está determinado por el número de pares$(A,B)$que no se anulan. Estos son precisamente aquellos por los que$\phi$no está definido; en otras palabras, aquellos para los que no hay mayor$x$. Pero no puede haber mayor$x$solo en el caso$A=B$. Si$n$es impar, entonces el requisito$\left|A\right| + \left|B\right| = n$significa que no podemos tener$A=B$, por lo que en el caso impar la suma es$0$. Si$n$es par, entonces el número de pares es solo el número de subconjuntos de$\{1, 2, \ldots, n\}$de tamaño$n/2$; es decir,$\binom{n}{n/2}$, y la paridad está determinada por si$|A| = n/2$es par o impar.

Así obtenemos

$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 (-1)^k = \begin{cases} (-1)^{n/2} \binom{n}{n/2}, & n \text{ is even}; \\ 0, & n \text{ is odd}.\end{cases}$$

$$\sum_{m=0}^n (-1)^m{n \choose m}^2= (n!)^2\sum_{m=0}^n \frac{(-1)^m}{(m!)^2((n-m)!)^2}$$

Esta función se siente hipergeométrica, así que tomamos el cociente de$c_{m+1}$y$c_m$dónde

$$c_m=\frac{(n!)^2}{(m!)^2((n-m)!)^2}$$

entonces,

$$\frac{c_{m+1}}{c_{m}}=\frac{((m+1)!)^2((n-m-1)!)^2}{(m!)^2((n-m)!)^2}=\frac{(m-n)^2}{(m+1)^2}$$

después de alguna simplificación, confirmando que esto se puede expresar en términos de una función hipergeométrica. El resultado anterior nos da los parámetros de la función por lo que encontramos$\sum_{m=0}^\infty c_m x^m = {_2}F_1(-n, -n; 1;-1)$.

$${_2}F_1(-n, -n; 1;-1)= \sum_{m=0}^\infty \frac{((-n)_m)^2}{(1)_k} \frac{(-1)^k}{k!} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m{n \choose m}^2$$

Dónde$(x)_n=x(x+1)\cdots(x+n-1)=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$es el símbolo de Pochhammer.

Una identidad para${_2}F_1$da una elegante "forma cerrada:"

$${_2}F_1(-n, -n; 1;-1)= \frac{2^{n} \sqrt{\pi} \Gamma(-n+n+1)}{\Gamma\left(\frac{1-n}{2}\right)\Gamma\left(\frac{-n}{2}+n+1\right)}= \frac{2^{n} \sqrt{\pi}}{\Gamma\left(\frac{1-n}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}$$

Ahora bien, teniendo en cuenta que si$a$es un entero positivo,${n \choose n+a}=0$, entonces

$$\sum_{m=0}^\infty (-1)^m{n \choose m}^2 = \sum_{m=0}^n (-1)^m{n \choose m}^2$$

y finalmente obtenemos la respuesta

$$\sum_{m=0}^n (-1)^m{n \choose m}^2=\frac{2^{n} \sqrt{\pi}}{\Gamma\left(\frac{1-n}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}$$

eso también es válido para los números reales.