Límite de an=13n+14n−−−−−−√nan=13n+14nna_n = \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}}

Question

Límite de an=13n+14n−−−−−−√nan=13n+14nna_n = \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}}

limites
cálculo
Matemáticas
secuencias y series

usuario347616

¿Hay alguna forma inteligente de encontrar el límite de la secuencia?

a_{norte} = \sqrt[norte]{\frac{1}{3^{norte}} + \frac{1}{4^{norte}}}

$a_n = \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}}$

sin usar el " $e$ a $\ln$ ¿truco?" Conseguí encontrar el límite de $\frac{1}{3}$ por el último método, pero me preguntaba si hay una solución más rápida. Pensé en usar el teorema de compresión

\frac{1}{4^{norte}} + \frac{1}{4^{norte}} \leq \frac{1}{3^{norte}} + \frac{1}{4^{norte}} \leq \frac{1}{3^{norte}} + \frac{1}{3^{norte}}

$\frac{1}{4^n}+\frac{1}{4^n} \leq \frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n} \leq \frac{1}{3^n}+\frac{1}{3^n}$

pero el límite de la raíz n-ésima en LHS y RSH tiende a $\frac 14$ y $\frac 13$ respectivamente, por lo que no puedo llegar a ninguna conclusión sobre el límite de $a_n$ .

usuario65203

El segundo término decae exponencialmente más rápido que el primero y se vuelve despreciable, por lo tanto

1 / 3

$1/3$ .

Respuestas (3)

Límite de an=13n+14n−−−−−−√nan=13n+14nna_n = \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}}

El segundo término decae exponencialmente más rápido que el primero y se vuelve despreciable, por lo tanto $1/3$ .

robarjohn · Answer 1

Pista:

\sqrt[norte]{\frac{1}{3^{norte}} + \frac{1}{4^{norte}}} = \frac{1}{3} \sqrt[norte]{1 + {(\frac{3}{4})}^{norte}}

$\sqrt[\large n]{\frac1{3^n}+\frac1{4^n}} =\frac13\sqrt[\large n]{1+\left(\frac34\right)^n}$

Surb · Answer 2

Pista

Dejar $a,b\geq 0$ . Muestra esa

\underset{norte \to \infty}{límite} \sqrt[norte]{a^{norte} + b^{norte}} = máximo (a, b) .

$\lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{a^n+b^n}=\max(a,b).$

Te refieres a $\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{a^n + b^n}$ ?

usuario65203 · Answer 3

Tu idea de apretar fue buena,

\frac{1}{3^{norte}} < \frac{1}{3^{norte}} + \frac{1}{4^{norte}} < \frac{1}{3^{norte}} + \frac{1}{3^{norte}}

$\frac1{3^n}<\frac1{3^n}+\frac1{4^n}<\frac1{3^n}+\frac1{3^n}$ y

\frac{1}{3} < \sqrt[norte]{\frac{1}{3^{norte}} + \frac{1}{4^{norte}}} < \frac{\sqrt[norte]{2}}{3} .

$\frac13<\sqrt[n]{\frac1{3^n}+\frac1{4^n}}<\frac{\sqrt[n]2}3.$

Límite de an=13n+14n−−−−−−√nan=13n+14nna_n = \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}}

usuario347616

usuario65203

Respuestas (3)

robarjohn

Surb

alex silva

Surb

usuario65203

usuario347616

Demuestra que la sucesión está acotada por debajo por 2–√2{\sqrt 2}

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Convergencia de una serie infinita particular

Cuando lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 en la prueba de razón límite, ¿se sigue que la serie diverge?

Prueba de convergencia/divergencia de ∑∞n=1(−1)nsin(nπ)∑n=1∞(−1)nsin⁡(nπ)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^ n\sen\left(\frac{n}{\pi}\right)

¿Límite de secuencia, teorema de compresión?

inf(A+B)=infA+infBinf(A+B)=infA+infB\inf{(A+B)}=\inf{A}+\inf{B}: Una prueba de ϵϵ\epsilon

Estoy buscando la secuencia {nn+1sinnπ2}{nn+1sin⁡nπ2}\Big\{ \frac{n}{n+1}\sin{\frac{n\pi}{2}} \Big\ } converge o diverge.

Interversión de límite y suma de secuencia de doble índice [cerrado]

Evaluar límites usando una serie