Evaluando el límite limn→∞(1n2+2n2+...+n−1n2)limn→∞(1n2+2n2+...+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1} {n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}\right)

Question

Evaluando el límite limn→∞(1n2+2n2+...+n−1n2)limn→∞(1n2+2n2+...+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1} {n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}\right)

limites
cálculo
Matemáticas
secuencias y series
convergencia divergencia

Kevin McDonough

Evalúa el límite
$\underset{norte \to \infty}{límite} (\frac{1}{{norte}^{2}} + \frac{2}{{norte}^{2}} + . . . + \frac{norte - 1}{{norte}^{2}}) .$ $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}\right) .$

Mi trabajo:

Empecé calculando los primeros 8 términos de la sucesión. $x_n$ ( $0, 0.25, 0.222, 0.1875, 0.16, 0.139, 0.122, 0.1094$ ). A partir de esto, determiné que la secuencia $x_n$ decrece monótonamente a cero cuando n tiende a infinito. que satisface mi primera prueba de convergencia en serie, si $\sum_{n=2}^\infty x_n$ converge, entonces $\lim_{n\to\infty}x_n=0$ .

A continuación, reorganicé la ecuación en un intento de realizar una prueba de comparación. Reescribí la ecuación como $\sum_{n=2}^\infty (\frac1{n}-\frac1{n^2})$ . Esto fue en vano ya que la única serie con la que pude pensar en compararlo fue $\frac1n$ que siempre es mayor que la serie original y es divergente, lo que no prueba la convergencia hasta un límite.

La prueba de la razón concluyó con $\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}$ siendo igual a 1, que tampoco es concluyente (puedo mostrar mi trabajo si es necesario, pero eso sería un poco tedioso). Nunca ejecuté la prueba de raíz, pero dudo que esto sea de ayuda en este caso.

No veo otra forma de calcular el límite, ¡así que agradecería cualquier ayuda!

Martín Sleziak

Ver también: Calcular

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + \dots + \frac{n - 1}{n^{2}})

$\lim_{n\to \infty} \left({1 \over n^2} + {2 \over n^2} + \cdots + {n - 1 \over n^2}\right)$

Respuestas (4)

Evaluando el límite limn→∞(1n2+2n2+...+n−1n2)limn→∞(1n2+2n2+...+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1} {n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}\right)

Ver también: Calcular $\lim_{n\to \infty} \left({1 \over n^2} + {2 \over n^2} + \cdots + {n - 1 \over n^2}\right)$

Tim Raczkowski · Answer 1

Pista: usa la fórmula

\sum_{k = 1}^{norte} k = \frac{norte (norte + 1)}{2} .

$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}2.$

Entonces,

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{{norte}^{2}} + \frac{2}{{norte}^{2}} + \dots + \frac{norte - 1}{{norte}^{2}} = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{norte (norte - 1)}{2 {norte}^{2}} .

$\lim_{n\to\infty}\frac 1{n^2}+\frac 2{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)}{2n^2}.$

¿Puedes sacarlo de aquí?

¿Podría ser más específico? ¿Usarlo para una prueba de comparación?
No es inmediatamente obvio para mí, pero suena como un excelente punto de partida. Voy a repasar algunas notas antiguas y trataré de reconstruir la solución. ¡Gracias por la respuesta! ¡Me aseguraré de darle crédito cuando encuentre una solución!
En realidad todavía estoy un poco confundido. Usé tu ecuación anterior y encontré que el límite debería ser igual a $\frac12$ . Sin embargo, cuando sumo los primeros 6 términos de la secuencia, suman un número mayor que este límite. Suponiendo que mi respuesta es correcta, ¿por qué es así?
No estoy seguro. Algo a tener en cuenta: a medida que aumenta el número de términos, también lo hace el denominador.
@KevinMcDonough Tu respuesta no es correcta :). Está tratando de ver la pregunta como una serie infinita cuando en realidad no lo es. Compara (sin sumar) los valores de la expresión en el límite para $n=2$ ( $\tfrac14$ ), $n=3$ ( $\tfrac19 + \tfrac29$ ), $n=4$ ( $\tfrac1{16} + \tfrac2{16} + \tfrac3{16}$ ). Estas no son sumas parciales de una serie común, por lo que no tiene sentido hablar de $\sum x_n$ cuando la pregunta es en realidad sobre $\lim x_n$ .

cazador · Answer 2

Esta es una suma de Riemann "zurda" con $n$ términos que se aproximan $\int_0^1 x dx$ con un tamaño de paso de $\frac{1}{n}$ , por lo que el límite es el valor de esta integral, que es $\frac{1}{2}$ .

Por supuesto, una forma de probar ese valor integral es demostrando este límite directamente. :)

travis willse · Answer 3

Sugerencia Podemos reorganizar el argumento del límite como

\frac{1}{norte} \sum_{k = 0}^{norte - 1} \frac{k}{norte} .

$\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{k}{n}.$ ¿Puede interpretar esto como una suma de Riemann para alguna función y, por lo tanto, darse cuenta del límite dado como una integral definida (fácil de evaluar)?

Flujo inverso · Answer 4

Sugerencia: recuerde la definición de integración. (Integración de Riemann)

\underset{norte \to \infty}{límite} \sum_{k = 1}^{norte - 1} \frac{k}{{norte}^{2}}

$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n^2}$

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{norte} \sum_{k = 1}^{norte - 1} \frac{k}{norte}

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n}$

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{norte} \sum_{k = 1}^{norte - 1} F (\frac{X}{norte}) = \int_{0}^{1} X d X

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{x}{n}\right)=\int_{0}^{1}x \; dx$

\frac{X^{2}}{2} |_{0}^{1} = \frac{1}{2}

$\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}$

Evaluando el límite limn→∞(1n2+2n2+...+n−1n2)limn→∞(1n2+2n2+...+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1} {n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}\right)

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Flujo inverso

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Convergencia de una serie infinita particular

¿Contradicciones entre la prueba de series alternas y la prueba de divergencia?

Comprobando si esta sucesión es convergente o divergente

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

Demuestra que la sucesión está acotada por debajo por 2–√2{\sqrt 2}

Muestre que una prueba de razón no es concluyente para una serie dada, luego determine si la serie converge/diverge.

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

Convergencia paramétrica de series infinitas

Cuando lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 en la prueba de razón límite, ¿se sigue que la serie diverge?