Comprobando si esta sucesión es convergente o divergente

P: Compruebe si la siguiente serie es convergente o divergente y, si es convergente, encuentre el límite:

1 + 1 2 X + 1 3 X 1 2 + 1 4 X 1 3 + 1 5 X 1 4 + … 1 + X + X 1 2 + X 1 3 + X 1 4 + …

Mi intento: he usado la prueba de proporción de D'Alembert, la prueba de raíz de Cauchy, pero no me ayudó, ya que todos dan un resultado no concluyente. Traté de usar la prueba de comparación pero no pude encontrar una secuencia adecuada para comparar.

No sé si podemos llegar a alguna conclusión demostrando la convergencia o divergencia del numerador y los denominadores por separado.

Cualquier forma de ayuda es apreciada.

¿Se trata de la existencia del límite de
1 + ∑ k = 1 norte 1 k + 1 X 1 / k 1 + ∑ k = 1 norte X 1 / k ,
¿o algo mas?
@DanielFischer Sí, esa es mi pregunta en forma cerrada.
La idea es darse cuenta de que independientemente de si | X | > 1 o | X | < 1 , tenemos | X | norte → 1 como norte → ∞ . Así que esto es más o menos como pedirle que evalúe límite norte → ∞ H norte norte , que es obviamente 0.

Respuestas (1)

tener el X 1 / k definida, se debe suponer que X ≥ 0 . Si X = 0 , el resultado es fácil; suponer X > 0 . Tenga en cuenta que X 1 / k → 1 como k → + ∞ , por lo que el numerador y el denominador son series divergentes. ahora si quieres estudiar

v norte = 1 + ∑ k = 1 norte X 1 / k k + 1 1 + ∑ k = 1 norte X 1 / k
entonces pon tu 0 = 1 , tu k = X 1 / k para k ≥ 1 , y a k = 1 k + 1 . Tienes
v norte = ∑ k = 0 norte a k tu k ∑ k = 0 norte tu k
y como tu k > 0 , ∑ k = 0 norte tu k → + ∞ y a k → 0 , por el teorema de Cesaro, se tiene v norte → 0 .

Ha utilizado las notaciones tu k y tu norte juntos al mismo tiempo para significar cosas diferentes. ¿Puedes editarlo? Es bastante confuso.
@SchrodingersCat Muchas gracias, lo he editado.
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